百度文库 - 让每个人平等地提升自我
【课时训练】第5节 函数的单调性与最值
一、选择题
1．(2018安徽淮北一中四模)下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝ln(x＋2)
?1?x
C．y＝?2?
??
B．y＝－x＋1 1
D．y＝x＋x 【答案】A
【解析】函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．
2．(2018湖南邵阳第二次联考)如果二次函数f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在(－∞，1)上是减函数，则( )
A．a＝－2 C．a≤－2 【答案】C
a－1a－1【解析】二次函数f(x)的对称轴为x＝－3，由题意知－3≥1，即a≤－2.
3．(2018
12
重庆一中期中)给定函数①y＝x ；②y＝log1 (x＋1)；
2
B．a＝2 D．a≥2
③y＝|x－1|；④y＝2x＋1.其中在(0,1)上为减函数的是( )
A．①② C．③④ 【答案】B
12
【解析】①y＝x 在(0,1)上单调递增；②∵t＝x＋1
2
2
B．②③ D．①④
在(0,1)上单调
递增，而y＝log1 t在(0,1)上单调递减，故y＝log1 (x＋1)在(0,1)上单调递减；③结合图象(图略)可知y＝|x－1|在(0,1)上单调递减；④∵u＝x＋1在(0,1)上单调递增，y＝2u在(0,1)上单调递增，故y＝2x＋1在(0,1)
1
百度文库 - 让每个人平等地提升自我
上单调递增．故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.
4．(2018湖北省级示范高中期中联考)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)a＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( ) x＋1
A．(－1,0)∪(0,1) C．(0,1) 【答案】D
a
【解析】由于g(x)＝在区间[1,2]上是减函数，所以a＞0；
x＋1由于f(x)＝－x2＋2ax在区间[1,2]上是减函数，且f(x)的对称轴为x＝a，则a≤1.综上有0＜a≤1.故选D.
5．(2018四川名校第一次联考)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且f(x)在(－∞，2)上是增函数，则( )
A．f(－1) 【解析】依题意得f(3)＝f(1)，且－1<1<2.又函数f(x)在(－∞，2)上是增函数，则f(－1) 6．(2018湖北华大新联盟考试)若函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则实数a的取值范围是( ) A．[1，＋∞) C．(－∞，1) 【答案】B 【解析】易知，函数f(x)＝2|x－a|＋3的增区间为[a，＋∞)，减区间为(－∞，a]． 因为函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a>1.故选B. 7．(2018九江模拟)已知函数f(x)＝log2x＋∈(2，＋∞)，则( ) 2 B．(－1,0)∪(0,1] D．(0,1] B．f(0)>f(3) D．f(0)＝f(3) B．(1，＋∞) D．(－∞，1] 1 ，若x1∈(1,2)，x2 1－x 百度文库 - 让每个人平等地提升自我 A．f(x1)<0，f(x2)<0 C．f(x1)>0，f(x2)<0 【答案】B 【解析】∵函数f(x)＝log2x＋＝0， B．f(x1)<0，f(x2)>0 D．f(x1)>0，f(x2)>0 1 在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)1－x ∴当x1∈(1,2)时， f(x1) 8．(2018山东潍坊四县联考)已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a) 2?? A.?－∞，3? ??2???C.0，3? ??【答案】C 【解析】∵f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)＜f(2a－1)，－1<1－a<1，?? ∴?－1<2a－1<1，??1－a>2a－1， 二、填空题 x＋19．(2018山西太原模拟)已知函数f(x)＝，x∈[2,5]，则f(x) x－1的最大值是________． 【答案】3 2 【解析】函数f(x)＝1＋在[2,5]上为减函数，故其最大值为 x－1f(2)＝1＋2＝3. 10．(2019四川成都外国语学校段考)函数f(x)＝log2 (x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________． 【答案】(－4,4] 【解析】因为函数f(x)＝log2(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上是增函数， 3 B．(0，＋∞) ?2? ?D．(－∞，0)∪3，＋∞? ?? 2 解得0 百度文库 - 让每个人平等地提升自我 所以当x∈[2，＋∞)时，x2－ax＋3a>0且函数g(x)＝x2－ax＋3a为增a 函数，即2≤2且f(2)＝4＋a>0，解得－4 1，x>0，?? 11．(2018湖北荆州模拟)设函数f(x)＝?0，x＝0， ??－1，x<0，－1)，则函数g(x)的单调递减区间是________． g(x)＝x2f(x 【答案】[0,1) 【解析】由题意知 ? g(x)＝?0，x＝1， ??－x2，x<1. [0,1)． 2x?，x>1， 函数图象如图所示，由图象可得函数g(x)的单调递减区间是 ?x＋2－3，x≥1， 12．(2018辽宁大连质检)已知函数f(x)＝?x ?lg?x2＋1?，x<1， f(x)的最小值是________． 【答案】2 2－3 2x·x－3＝2 2 【解析】当x≥1时，x＋x－3≥2 则 2－3，当且 2 仅当x＝x，即x＝2时等号成立，此时f(x)min＝2 2－3＜0；当x ＜1时，lg(x2＋1)≥lg(02＋1)＝0，此时f(x)min＝0.所以f(x)的最小值为 4 百度文库 - 让每个人平等地提升自我 2 2－3. 三、解答题 x 13．(2018河南信阳调研)已知函数f(x)＝(x≠a)． x－a(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围． (1)【证明】任取x1 2?x1－x2?x1x2 则f(x1)－f(x2)＝－＝. x1＋2x2＋2?x1＋2??x2＋2? ∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1) ∴f(x)在(－∞，－2)上单调递增． (2)【解】任取1 x1x2 －＝x1－ax2－a a?x2－x1? .∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2 ?x1－a??x2－a? －a)>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤1.综上所述知a的取值范围是(0,1]． 1 14．(2018广西名校联考)已知函数f(x)＝ax＋a(1－x)(a>0)，且f(x)在[0,1]上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值． 1?1?11 【解】f(x)＝ax＋a(1－x)＝?a－a?x＋a.当a>1时，a－a>0，此时 ? ? 11 f(x)在[0,1]上为增函数，∴g(a)＝f(0)＝a；当0 ?a，0 此时g(a)＝1.∴g(a)＝?1 ?a，a≥1， ∴g(a)在(0,1)上为增函数，在[1， 1 ＋∞)上为减函数．又a＝1时，有a＝a＝1，∴当a＝1时，g(a)取得最大值1. 5
2020届高考数学理一轮复习课时训练第2章函数的概念与基本初等函数Ⅰ5
