方程与不等式之一元二次方程难题汇编及解析
一、选择题
1．在解方程（x+2）（x﹣2）=5时，甲同学说：由于5=1×5，可令x+2=1，x﹣2=5，得方程的根x1=﹣1，x2=7；乙同学说：应把方程右边化为0，得x2﹣9=0，再分解因式，即（x+3）（x﹣3）=0，得方程的根x1=﹣3，x2=3．对于甲、乙两名同学的说法，下列判断正确的是..（ ）
A．甲错误，乙正确 B．甲正确，乙错误 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误 【答案】A
【解析】（x+2）（x﹣2）=5， x2-4=5， x2-9=0，
（x+3）（x-3）=0， x+3=0或x-3=0， x1=-3，x2=3， 所以甲错误，乙正确， 故选A.
2．国庆期间电影《我和我的祖国》第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ） A．3(1?x)?10 C．3?3(1?x)2?10 【答案】D 【解析】 【分析】
用含x的代数式表示出第二天和第三天的票房收入，三天的票房收入再相加即得答案. 【详解】
解：设平均每天票房收入的增长率记作x，则3?3(1?x)?3(1?x)?10.
2B．3(1?x)2?10
D．3?3(1?x)?3(1?x)2?10
故选：D. 【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用之增长降低率问题，一般的，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为：a?1?x??b.
2
3．从?4，?2，?1，0，1，2，4，6这八个数中，随机抽一个数，记为a．若数a使关于x的一元二次方程x?2?a?4?x?a?0有实数解．且关于y的分式方程
22y?a1?3?有整数解，则符合条件的a的值的和是（ ） y?11?yA．?6 【答案】C 【解析】 【分析】
B．?4 C．?2 D．2
由一元二次方程x?2?a?4?x?a?0有实数解，确定a的取值范围，由分式方程
22y?a1?3?有整数解，确定a的值即可判断． y?11?y【详解】
方程x?2?a?4?x?a?0有实数解，
22∴△=4(a?4)2?4a2?0， 解得a?2
∴满足条件的a的值为?4，?2，?1，0，1，2
y?a1?3?方程 y?11?y解得y=
a+2 2∵y有整数解 ∴a=?4，0，2，4，6
综上所述，满足条件的a的值为?4，0，2， 符合条件的a的值的和是?2 故选：C 【点睛】
本题考查了一元二次方程根据方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；以及分式方程解的定义：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫分式方程的解．
4．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则实数m的取值是( ) A．m＜1 【答案】C 【解析】
试题解析：关于x的一元二次方程x2?2x?m?0没有实数根，
B．m＞﹣1
C．m＞1
D．m＜﹣1
??b2?4ac???2??4?1?m?4?4m?0，
解得：m?1. 故选C．
2
5．代数式x2-4x+5的最小值是（ ） A．-1
B．1
C．2
D．5
【答案】B 【解析】
x2-4x+5
=x2-4x+4-4+5 =(x?2)2+1
2∵(x?2)≥0，
∴(x?2)2+1≥1，
∴代数x2-4x+5的最小值为1． 故选B.
点睛：解这类题时，通常先通过配方把原式化为“一个完全平方式”和“一个常数”的和的形式，再把完全平方式分解因式化为一个代数式的平方的形式，就可由“任何代数式的平方都是非负数”可知原式的最小值就是那个“常数”.
6．某型号手机原来销售单价是4000元，经过两次降价促销，现在的销售单价是2560元，若两次降价的百分率相同，则平均每次降价（ ） A．10% 【答案】C 【解析】 【分析】
根据原来售价是4000元，经过两次降价且降价百分率相同后销售单价为2560元，设两次降价的百分率为x ，一次降价为4000?1?x?，两次降价为4000?1?x?得出
2B．15% C．20% D．25%
4000?1?x?=2560，算出x．
【详解】
解：设两次降价的百分率为x，由题意得： 4000（1﹣x）2＝2560 ∴（1﹣x）2＝∴1﹣x＝±0.8
∴x1＝1.8（舍），x2＝0.2＝20% 故选：C． 【点睛】
熟悉一元二次方程的增长率和下降率的相关题型，注意分析是一次增长（下降），还是二次增长（下降）问题．
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7．将方程x2?2x?3?0化为?x?m??n的形式，指出m,n分别是（ ） A．1和3 【答案】C
B．-1和3
C．1和4
D．-1和4
2【解析】 【分析】
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数． 【详解】 移项得x2-2x=3， 配方得x2-2x+1=4， 即（x-1）2=4， ∴m=1，n=4． 故选C． 【点睛】
用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．
8．方程x2+x﹣1＝0的一个根是（ ） A．1﹣
B．
C．﹣1+
D．
【答案】D 【解析】 【分析】
利用求根公式解方程，然后对各选项进行判断． 【详解】
∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1， ∴△＝b2﹣4ac＝12﹣4×（﹣1）＝5， 则x＝所以x1＝故选：D． 【点睛】
本题考查了解一元二次方程﹣公式法，解题关键在于掌握运算法则．
， ，x2＝
．
9．下列方程中，有实数根的是（ ） A．x2?2?0 C．1?x?1?0 【答案】D 【解析】
B．x?2?2?x?1 D．x?1??x
【分析】
根据二次根式的性质逐项分析即可． 【详解】
A．∵x2+2≥2， ∴x2?2?2?0，故不正确；
B．∵x-2≥0且2-x≥0，∴x=2，∴x?2?2?x?0，故不正确； C．∵1?x?0，∴1?x?1?1?0，故不正确； D．∵x+1≥0，-x≥0， ∴-1≤x≤0． ∵x?1??x， ∴x+1=x2， ∴x2-x-1=0， ∵?=1+4=5＞0， ∴x1=1?51?5，x2=（舍去）， 22∴x?1??x有实数根，符合题意． 故选D． 【点睛】
本题考查了二次根式的性质，无理方程的解法，以及一元二次方程的解法，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
10．某厂四月份生产零件100万个，第二季度共生产零件282万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ） A．100（1+x）2=282 C．100（1+2x）＝282 【答案】B 【解析】 【分析】
主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程． 【详解】
2五月份的产量=100（1+x），六月份的产量=100(1?x)，
B．100+100（1+x）+100（1+x）2=282 D．100+100（1+x）+100（1+2x）=282
方程与不等式之一元二次方程难题汇编及解析
