记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数.
(Ⅰ)若n=19，求y与x的函数解析式；
(Ⅱ)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值； (Ⅲ)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
解：(Ⅰ)当x≤19时，y=3800；当x>19时，y=3800+500(x-19)=500x-5700.
x?19?3800,所以y与x的函数解析式为y??(x?N*) …3分
500x?5700,x?19?(Ⅱ)由柱状图知，需更换的易损零件数不大于18为0.46，不大于19为0.7，所以n的最小值为19. …6分
(Ⅲ)若每台机器都购买19个易损零件，则有70台的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800，所以100台机器购买易损零件费用的
1平均数为(3800×70+4300×20+4800×10)=4000. …9分
100若每台机器都购买20个易损零件，则有90台的费用为4000，10台的费用为4500，所以100台机器购买易损零件费用的
1平均数为(4000×90+4500×10)=4050. …11分
100 比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.…12分
20.（本小题满分12分）
在直角坐标系xoy中，直线l：y=t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.
OH(Ⅰ)求； (Ⅱ)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.
ONt2t2p 解：(Ⅰ)依题M(0, t)，P(, t). 所以N(, t)，ON的方程为y?x.
2ppt 联立y2=2px，消去x整理得y2=2ty. 解得y1=0，y2=2t. …4分
OH2t2 所以H(,2t). 所以N是OH的中点，所以=2. …6分
pON(Ⅱ)直线MH的方程为y?t?px，联立y2=2px，消去x整理得y2-4ty+4t2=0. 2t解得y1=y2=2t. 即直线MH与C只有一个交点H.
所以除H以外，直线MH与C没有其它公共点. …12分
21.（本小题满分12分）
已知函数f(x)=(x -2)ex+a(x -1)2.
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性； (Ⅱ)若有两个零点，求a的取值范围. 解：(Ⅰ) f '(x)=(x -1)ex+a(2x -2)=(x -1)(ex+2a). x∈R …2分 (1)当a≥0时，在(-∞,1)上，f '(x)<0，f(x)单调递减；
在(1,+∞)上，f '(x)>0，f(x)单调递增. …3分
(2)当a<0时，令f '(x)=0，解得x =1或x=ln(-2a).
e①若a=?，ln(-2a) =1，f '(x)≥0恒成立，所以f(x)在(-∞,+ ∞)上单调递增.
2e②若a>?，ln(-2a)<1，在(ln(-2a),1)上，f '(x)<0，f(x)单调递减；
2在(-∞, ln(-2a))与(1,+∞)上，f '(x)>0，f(x)单调递增. e③若a1，在(1,ln(-2a))上，f '(x)<0，f(x)单调递减；
2在(-∞,1)与(ln(-2a),+∞)上，f '(x)>0，f(x)单调递增.…7分
(Ⅱ) (1)当a=0时，f(x)=(x -2)ex只有一个零点，不合要求. …8分 (2)当a>0时，由(Ⅰ)知f(x)在(-∞,1)上单调递减；在(1,+∞)上单调递增.
aa最小值f(1)=-e<0，又f(2)= a>0，若取b<0且b 22a3从而f(b)>(b?2)?a(b?1)2?a(b2?b)?0，所以f(x)有两个零点. …10分 22e(3)当a<0时，在(-∞,1]上，f(x)<0恒成立；若a≥?，由(Ⅰ)知f(x)在(1,+∞) 2e上单调递增，不存在两个零点.若a 2上单调递增，也不存在两个零点. 综上a的取值范围是(0,1). …12分 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 1如图，ΔOAB是等腰三角形，∠AOB=120°. 以O为圆心，OA为半径作圆. 2(Ⅰ)证明：直线AB与⊙O相切； (Ⅱ)点C,D在⊙O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB∥CD. 证明：(Ⅰ)设E是AB的中点，连接OE，因为OA=OB， ∠AOB=120°. 所以OE⊥AB，∠AOE=60°. …3分 1在RtΔAOE中，OE=OA. 即圆心O到直线AB的 2距离等打半径，所以直线AB与⊙O相切. …5分 1OA，所以O不是A,B,C,D四点共圆的圆心，故设其圆心为2O'，则O'在AB的垂直平分线上. 又O在AB的垂直平分线上，作直线O O'，所以O O'⊥AB.…8分 同理可证O O'⊥CD.所以AB∥CD. …10分 23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 ?x?acost在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为?（t为参数，a>0）. y?1?asint?在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ. (Ⅰ)说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程； (Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a. 解：(Ⅰ)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2. 所以C1是以(0,1)为圆心a为半径的圆. …3分 将x=?cos?，y=?sin?代入可得C1的极坐标方程为?2-2? sin?+1-a2=0. …5分 (Ⅱ)联立?2-2? sin?+1-a2=0与ρ=4cosθ消去ρ得16cos2?-8sin? cos?+1-a2=0， 由tanθ=2可得16cos2?-8sin? cos?=0. 从而1-a2=0，解得a=1. …8分 当a=1时，极点也是C1与C2的公共点，且在C3上，综上a=1. …10分 24.（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)=| x+1| -|2x-3|. (Ⅰ)在答题卡第24题图中画出y=f(x)的图像； (Ⅱ)求不等式| f(x)|>1的解集. ??x?4,x??1?3?解：(Ⅰ)f(x)??3x?2,?1?x? 2?3??x?4,x???2y=f(x)的图像如图所示. …5分 (Ⅱ)由f(x)的图像和表达式知，当f(x)=1时，解得x=1或x=3. 1当f(x)=-1时，解得x=或x=5. …8分 31 结合f(x)的图像可得| f(x)|>1的解集为{x|x<或1< x<3或x>5}. …10分 3 (Ⅱ)因为OD= 小题详解 一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合A={1,3,5,7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=( )B A．{1,3} B．{3,5} C．{5,7} D．{1,7} 解：取A，B中共有的元素是{3,5}，故选B 2．设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=( ) A A．-3 B．-2 C．2 D． 3 解：(1+2i)(a+i)= a-2+(1+2a)i，依题a-2=1+2a，解得a=-3，故选A 3．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中， 余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) C 1125A． B． C． D． 3236解：设红、黄、白、紫4种颜色的花分别用1,2,3,4来表示，则所有基本事件有 (12,34)，(13,24)，(14,23)，(23,14)，(24,13)，(34,12)，共6个，其中1和4不 42 在同一花坛的事件有4个， 其概率为P=?，故选C 63 24．ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a?5,c?2,cosA?， 3则b=( )D A． 2 B．3 C．2 D．3 2解：由余弦定理得：5=4+b2-4b×， 则3b2-8b-3=0，解得b=3，故选D 35．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的 1，则该椭圆的离心率为( )B 41123A． B． C． D． 32341c1解：由直角三角形的面积关系得bc=?2bb2?c2，解得e??，故选B 4a21?6．若将函数y=2sin (2x+)的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为 46( ) D ????A．y=2sin(2x+) B．y=2sin(2x+) C．y=2sin(2x–) D．y=2sin(2x–) 43431??解：对应的函数为y=2sin[ 2(x-??)+]，即y=2sin(2x–)，故选D 463 7．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个 28?圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是， 3则它的表面积是( ) A A．17π B．18π C．20π D．28π 解：依图可知该几何体是球构成截去了八分之一，其体积 4728?73，解得R=2，表面积S?4??22?+??22?17?，故选B V??R3??383848．若a>b>0，0 A．logac 1 1 1 1 O O O O 2 x -2 2 x -2 2 x -2 2 x -2 A D B C 解：当0≤x≤2时，y'=4x–ex，函数先减后增，且y'|x=0.5>0，最小值在(0,0.5)内. 故选D 10．执行右面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1， 开始 则输出x，y的值满足( )C 输入x,y,n A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x n?1x?x?,y?ny解：运行程序，循环节内的n，x，y依次为 n=n+1 2(1,0,1)，(2,0.5,2)，(3,1.5,6)， 输出x=1.5，y= 6， 否 故选C x2+y2≥36? 11．平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A， 是 α//平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n， 输出x,y 则m，n所成角的正弦值为( )A 结束 3321A． B． C． D． 2323解：平面A1B1C1D1∩平面CB1D1= B1D1与m平行，平面CDD1C1∩平面CB1D1= CD1与n平行，所以m，n所成角就是B1D1与CD1所成角，而ΔCB1D1是等边三角形，则所成角是60°，故选A 112．若函数f(x)?x-sin2x?asinx在(-∞,+∞)单调递增，则a的取值范围是( )C 3111A．[-1,1] B．[-1,] C．[-,] D．[-1,-] 333
2016年全国高考新课标1卷文科数学试题及答案
