记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.
(Ⅰ)若n=19,求y与x的函数解析式;
(Ⅱ)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值; (Ⅲ)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?
解:(Ⅰ)当x≤19时,y=3800;当x>19时,y=3800+500(x-19)=500x-5700.
x?19?3800,所以y与x的函数解析式为y??(x?N*) …3分
500x?5700,x?19?(Ⅱ)由柱状图知,需更换的易损零件数不大于18为0.46,不大于19为0.7,所以n的最小值为19. …6分
(Ⅲ)若每台机器都购买19个易损零件,则有70台的费用为3800,20台的费用为4300,10台的费用为4800,所以100台机器购买易损零件费用的
1平均数为(3800×70+4300×20+4800×10)=4000. …9分
100若每台机器都购买20个易损零件,则有90台的费用为4000,10台的费用为4500,所以100台机器购买易损零件费用的
1平均数为(4000×90+4500×10)=4050. …11分
100 比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.…12分
20.(本小题满分12分)
在直角坐标系xoy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.
OH(Ⅰ)求; (Ⅱ)除H以外,直线MH与C是否有其它公共点?说明理由.
ONt2t2p 解:(Ⅰ)依题M(0, t),P(, t). 所以N(, t),ON的方程为y?x.
2ppt 联立y2=2px,消去x整理得y2=2ty. 解得y1=0,y2=2t. …4分
OH2t2 所以H(,2t). 所以N是OH的中点,所以=2. …6分
pON(Ⅱ)直线MH的方程为y?t?px,联立y2=2px,消去x整理得y2-4ty+4t2=0. 2t解得y1=y2=2t. 即直线MH与C只有一个交点H.
所以除H以外,直线MH与C没有其它公共点. …12分
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=(x -2)ex+a(x -1)2.
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)若有两个零点,求a的取值范围. 解:(Ⅰ) f '(x)=(x -1)ex+a(2x -2)=(x -1)(ex+2a). x∈R …2分 (1)当a≥0时,在(-∞,1)上,f '(x)<0,f(x)单调递减;
在(1,+∞)上,f '(x)>0,f(x)单调递增. …3分
(2)当a<0时,令f '(x)=0,解得x =1或x=ln(-2a).
e①若a=?,ln(-2a) =1,f '(x)≥0恒成立,所以f(x)在(-∞,+ ∞)上单调递增.
2e②若a>?,ln(-2a)<1,在(ln(-2a),1)上,f '(x)<0,f(x)单调递减;
2在(-∞, ln(-2a))与(1,+∞)上,f '(x)>0,f(x)单调递增. e③若a,ln(-2a)>1,在(1,ln(-2a))上,f '(x)<0,f(x)单调递减;
2在(-∞,1)与(ln(-2a),+∞)上,f '(x)>0,f(x)单调递增.…7分
(Ⅱ) (1)当a=0时,f(x)=(x -2)ex只有一个零点,不合要求. …8分 (2)当a>0时,由(Ⅰ)知f(x)在(-∞,1)上单调递减;在(1,+∞)上单调递增.
aa最小值f(1)=-e<0,又f(2)= a>0,若取b<0且b 22a3从而f(b)>(b?2)?a(b?1)2?a(b2?b)?0,所以f(x)有两个零点. …10分 22e(3)当a<0时,在(-∞,1]上,f(x)<0恒成立;若a≥?,由(Ⅰ)知f(x)在(1,+∞) 2e上单调递增,不存在两个零点.若a,f(x)在(1,ln(-2a))上单调递减;在(ln(-2a),+∞) 2上单调递增,也不存在两个零点. 综上a的取值范围是(0,1). …12分 22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 1如图,ΔOAB是等腰三角形,∠AOB=120°. 以O为圆心,OA为半径作圆. 2(Ⅰ)证明:直线AB与⊙O相切; (Ⅱ)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:AB∥CD. 证明:(Ⅰ)设E是AB的中点,连接OE,因为OA=OB, ∠AOB=120°. 所以OE⊥AB,∠AOE=60°. …3分 1在RtΔAOE中,OE=OA. 即圆心O到直线AB的 2距离等打半径,所以直线AB与⊙O相切. …5分 1OA,所以O不是A,B,C,D四点共圆的圆心,故设其圆心为2O',则O'在AB的垂直平分线上. 又O在AB的垂直平分线上,作直线O O',所以O O'⊥AB.…8分 同理可证O O'⊥CD.所以AB∥CD. …10分 23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程 ?x?acost在直线坐标系xoy中,曲线C1的参数方程为?(t为参数,a>0). y?1?asint?在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ. (Ⅰ)说明C1是哪种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程; (Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a. 解:(Ⅰ)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2. 所以C1是以(0,1)为圆心a为半径的圆. …3分 将x=?cos?,y=?sin?代入可得C1的极坐标方程为?2-2? sin?+1-a2=0. …5分 (Ⅱ)联立?2-2? sin?+1-a2=0与ρ=4cosθ消去ρ得16cos2?-8sin? cos?+1-a2=0, 由tanθ=2可得16cos2?-8sin? cos?=0. 从而1-a2=0,解得a=1. …8分 当a=1时,极点也是C1与C2的公共点,且在C3上,综上a=1. …10分 24.(本小题满分10分),选修4—5:不等式选讲 已知函数f(x)=| x+1| -|2x-3|. (Ⅰ)在答题卡第24题图中画出y=f(x)的图像; (Ⅱ)求不等式| f(x)|>1的解集. ??x?4,x??1?3?解:(Ⅰ)f(x)??3x?2,?1?x? 2?3??x?4,x???2y=f(x)的图像如图所示. …5分 (Ⅱ)由f(x)的图像和表达式知,当f(x)=1时,解得x=1或x=3. 1当f(x)=-1时,解得x=或x=5. …8分 31 结合f(x)的图像可得| f(x)|>1的解集为{x|x<或1< x<3或x>5}. …10分 3 (Ⅱ)因为OD= 小题详解 一、选择题,本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B=( )B A.{1,3} B.{3,5} C.{5,7} D.{1,7} 解:取A,B中共有的元素是{3,5},故选B 2.设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=( ) A A.-3 B.-2 C.2 D. 3 解:(1+2i)(a+i)= a-2+(1+2a)i,依题a-2=1+2a,解得a=-3,故选A 3.为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中, 余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) C 1125A. B. C. D. 3236解:设红、黄、白、紫4种颜色的花分别用1,2,3,4来表示,则所有基本事件有 (12,34),(13,24),(14,23),(23,14),(24,13),(34,12),共6个,其中1和4不 42 在同一花坛的事件有4个, 其概率为P=?,故选C 63 24.ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a?5,c?2,cosA?, 3则b=( )D A. 2 B.3 C.2 D.3 2解:由余弦定理得:5=4+b2-4b×, 则3b2-8b-3=0,解得b=3,故选D 35.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的 1,则该椭圆的离心率为( )B 41123A. B. C. D. 32341c1解:由直角三角形的面积关系得bc=?2bb2?c2,解得e??,故选B 4a21?6.若将函数y=2sin (2x+)的图像向右平移个周期后,所得图像对应的函数为 46( ) D ????A.y=2sin(2x+) B.y=2sin(2x+) C.y=2sin(2x–) D.y=2sin(2x–) 43431??解:对应的函数为y=2sin[ 2(x-??)+],即y=2sin(2x–),故选D 463 7.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个 28?圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是, 3则它的表面积是( ) A A.17π B.18π C.20π D.28π 解:依图可知该几何体是球构成截去了八分之一,其体积 4728?73,解得R=2,表面积S?4??22?+??22?17?,故选B V??R3??383848.若a>b>0,0 A.logac 1 1 1 1 O O O O 2 x -2 2 x -2 2 x -2 2 x -2 A D B C 解:当0≤x≤2时,y'=4x–ex,函数先减后增,且y'|x=0.5>0,最小值在(0,0.5)内. 故选D 10.执行右面的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1, 开始 则输出x,y的值满足( )C 输入x,y,n A.y=2x B.y=3x C.y=4x D.y=5x n?1x?x?,y?ny解:运行程序,循环节内的n,x,y依次为 n=n+1 2(1,0,1),(2,0.5,2),(3,1.5,6), 输出x=1.5,y= 6, 否 故选C x2+y2≥36? 11.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A, 是 α//平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n, 输出x,y 则m,n所成角的正弦值为( )A 结束 3321A. B. C. D. 2323解:平面A1B1C1D1∩平面CB1D1= B1D1与m平行,平面CDD1C1∩平面CB1D1= CD1与n平行,所以m,n所成角就是B1D1与CD1所成角,而ΔCB1D1是等边三角形,则所成角是60°,故选A 112.若函数f(x)?x-sin2x?asinx在(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是( )C 3111A.[-1,1] B.[-1,] C.[-,] D.[-1,-] 333
2016年全国高考新课标1卷文科数学试题及答案
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