2019年考研数学（二）真题及完全解析（Word版）
一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题
目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．1、当x?0时，若x?tanx与 x是 同阶无穷小量，则kk?（ ）
A、 1. B、2. C、 3. D、 4.
【答案】C.
x3【解析】因为 x?tanx~?，所以k?3，选 C.
32、曲线y?xsinx?2cosx ?－3?????x??的拐点是（ ） ２２??A、 ?,【答案】C. 【解析】y???????3?3?? . 、 . 、 . 、 0,2 ?,?2BDC??????,?. ?２２??２２?xcosx?sinx ，y????xsinx，令 y????xsinx?0，解得x?0或x??。
当x??时，y???0；当x??时，y???0，所以 ??,?2?是拐点。故选 C. 3、下列反常积分发散的是（ ）
A、???0xedx. B、 ??x??0xedx. C、 ??x2??0??arxtanxx. 、dxdx. D22?01?x1?x【答案】D. 【解析】A、
???0xedx???xde??xe0?x???x?x??0??e?xdx?1，收敛；
0??B、?0xeC、?D、?
?????x21???x221dx??edx?，收敛；
2020??arxtanx1?22dx?arctanx?，收敛；
01?x228??0x1??1122dx?d(1?x)?ln(1?x)???，发散，故选D。 22?01?x21?x20??4、已知微分方程的y???ay??by?cex通解为y?(C1?C2x)e?x?ex，则a,b,c依次为（ ）
A、 1,0,1. B、 1,0,2. C、2,1,3. D、2,1,4. 【答案】D.
【解析】 由题设可知r所以a2 ??1是特征方程r?ar?b?0的二重根，即特征方程为(r?1)2?0，
?2, b?1。又知y*?ex是方程y???2y??y?cex的特解，代入方程的c?4。故选
??D。
5、已知积分区域D???x,y? x?y???2222?，I1???x?ydxdy，I2???sinx?ydxdy， 2?DDI3???1?cosx2?y2dxdy，则（ ）
D??A、I3?I2?I1. B、 I2?I1?I3. C、I1?I2?I3. D、I2?I3?I1.
【答案】A.
【解析】比较积分的大小，当积分区域一致时，比较被积函数的大小即可解决问题。
???????由 x?y?，可得 x?y???【画图发现x?y?包含在圆x2?y2???的内部】，
22?2??2?22?22令u?x2?y2，则 0?u??2，于是有 u?sinu，从而
??D x2?y2dxdy???sinx2?y2dxdy。
D令f(u)?1?cosu?sinu，则f?(u)?sinu?cosu，f?()?0。f(u)在?0,?4?????内单调减少， 4?在?从而
????????,?单调增加，又因为f(0)?f()?0，故在?0,?内f(u)?0，即1?cosu?sinu，
2?42??2?2222sinx?ydxdy?(1?cosx?y)dxdy。综上，选A。 ????DD6、设函数f(x),g(x)的二阶导数在x?a处连续，则limx?af(x)?g(x)?0是两条曲线y?f(x)，
(x?a)2y?g(x)在x?a对应的点处相切及曲率相等的（ ）
A、充分非必要条件. B、充分必要条件. C、必要非充分条件. D、既非充分也非必要条件. 【答案】A.
【解析】充分性：利用洛必达法则，由limx?af(x)?g(x)?0可得
(x?a)2limx?af??(x)?g??(x)f?(x)?g?(x)?0， ?0及limx?a2(x?a)2进而推出 f(a)?g(a)，f?(a)?g?(a)，f??(a)?g??(a)。由此可知两曲线在x?a处有相同切线，且由曲率公式K?y??[1?(y?)]322可知曲线在x?a处曲率也相等，充分性得证。
必要性：由曲线y?f(x)，y?g(x)在x?a处相切，可得f(a)?g(a)，f?(a)?g?(a)； 由曲率相等
f??(a)[1?(f?(a))]322?g??(a)[1?(g?(a))]322，可知f??(a)?g??(a)或f??(a)??g??(a)。
当f??(a)??g??(a)时，所求极限
limx?af(x)?g(x)f?(x)?g?(x)f??(x)?g??(x)?lim?lim?f??(a)，而f??(a)未必等于0，因此必2x?ax?a(x?a)2(x?a)2要性不一定成立。故选A。
7、设A是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若线性方程组Ax?0的基础解系中只有2个向量，则
r(A*)?（ ）。
A、0. B、 1. C、2. D、3.
【答案】A.
【解析】因为方程组Ax?0的基础解系中只有2个向量，，所以4?r(A)?2，从而r(A)?2?4?1， 则r(A)?0，故选 A。
8、设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵，若A2?A?2E,且A?4，则二次型xAx的规范型为（ ）
222222222222A、y1?y2?y3. B、 y1?y2?y3. C、y1?y2?y3. D、?y1?y2?y3.
T*【答案】C.
【解析】设?是A的特征值，根据A2?A?2E得????2，解得?2?1或???2；又因为
22。故选C。 A?4，所以A的特征值为1，-2，-2，根据惯性定理，xTAx的规范型为y12?y2?y3二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．9、lim(x?2x?02xx)?.
【答案】4e。
2【解析】lim(x?2)?lim[1?(x?2?1)]?ex?0x?02xxx2x2limln[1?(x?2x?1)]x?0x
?e10、曲线?x?2x?12limx?0x?e2(1?ln2)?4e2.
?x?t?sint3在t??对应点处的切线在y轴上的截距为 。
2?y?1?cost【答案】
3??2. 2【解析】斜率
3?dysint3??2，截距为?2。 ???1，切线方程为 y??x?3?22dx1?costt?2y2?z?z11、设函数f(u)可导，z?yf()，则2x?y? 。
x?x?y?y2?【答案】yf??.
?x??y2?2y2?y2??y2??zy3?y2??z?z?z??2f???, ?f???f???，2x?y?yf??． 【解析】?xxx?yxx?x?y?????x??x?12、曲线y?lncosx(0?x?【答案】
?6)的弧长为 ．
1ln3 222【解析】ds?1?y?dx?1?tanxdx?secxdx
16?s??secxdx?ln(secx?tanx)0ln3. 260??13、已知函数f(x)?x【答案】
?x11sint2dt，则?f(x)dx? ．
0t1(cos1?1)． 4【解析】设F(x)??1x1sint2dt,则 t?10111121122f(x)dx??xF(x)dx??F(x)dx?[xF(x)]??xdF(x)
00202201112112sinx21111???xF?(x)dx???xdx???xsinx2dx?cosx2?(cos1?1).
02020x2044?1?100????21?11?，A表示元素a的代数余子式，则A?A? ．14、已知矩阵A?? ijij1112?3?22?1????0034?【答案】?4.
【解析】由行列式展开定理得
1A11?A12?A??230?11?200?12301?14?13001002301?14?2?1?1?1?1?102314?1?11130??4． 40?1?0三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过．．．程或演算步骤.
2x?,x?0?x15、（本题满分10分）已知函数f(x)??，求f?(x)，并求函数f(x)的极值．
x??xe?1,x?0【解析】当x?0时，f(x)?x2x?e2xlnx，f?(x)?2x2x(lnx?1)；当x?0时， f?(x)?(x?1)ex；
f(x)?f(0)x2x?12x2x(lnx?1)f??(0)?lim?lim?lim???，即f(x)在x?0处不可导．
x?0?x?0?x?0?xx1?2x2x(lnx?1),x?0?综合上述：f?(x)??；
x??(x?1)e,x?01；x?0是函数f(x)的不可导点。 e1当x??1时，f?(x)?0；当?1?x?0时，f?(x)?0；当0?x?时，f?(x)?0；
e11?1当x?时，f?(x)?0；故x1??1是函数的极小值点，极小值为f(?1)?1?e；x2?是函数的
ee令f?(x)?0得驻点x1??1,x2?2?1极小值点，极小值为f()?ee；函数f(x)在x?0处连续且有极大值f(0)?1．
e16、（本题满分10分）求不定积分
3x?6?(x?1)2(x2?x?1)dx．
【解析】设
3x?6ABCx?D???
(x?1)2(x2?x?1)x?1(x?1)2x2?x?1
2019年考研数学二真题及全面解析
