2014年福建省高中数学竞赛
暨2014年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷
（考试时间：2014年5月17日上午9：00－11：30，满分160分）
一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上） 1．已知直线l1：ax?2y?6?0，l2：x?(a?1)y?a2?1?0，若l1?l2，则a? 。 2．函数f(x)?3sin2x?sinxcosx?3????（x??，?）的值域为 。 2?122?3．在三棱锥D?ABC中，AB?BC?2，AB?BC，BC?CD，DA?AB，?CDA?60?。则三棱锥D?ABC的体积为 。
y2?1的左、右焦点，P为双曲线C上一点，且点P在4．已知F1、F2为双曲线C：x?242第一象限。若
PF14?，则△PF1F2内切圆半径为 。 PF235．已知集合A??xx2?2x?8?0?，B??xx2?2ax?4?0?。若a?0，且A?B中恰有1个整数，则a的取值范围为 。
6．若分数
pp（p，q为正整数）化成小数为?0.198L，则当q取最小值时，
qqp?q? 。
7．随机地投掷3粒骰子，则其中有2粒骰子出现的点数之和为7的概率为 。
uuuruuuruuur8．已知点A(1，?1)，B(4，0)，C(2，2)。平面区域D由所有满足AP??AB??ACy)组成的区域。若区域D的面积为8，则a?b的最小值（1???a，1???b）的点P(x，为 。
23?82014??8??8??8?9． A??????????L??（符号?x?表示不?被63除的余数为 。
9999????????超过x的最大整数。）
10．若a，b，c为关于x的方程x3?x2?x?m?0的三个实根，则m的最小值为 。
二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程） 11．已知?an?为递增的等比数列，且a1?a2?6，a3?a4?24。bn?的前n项和为Tn，求证：对一切正整数n均有，Tn?3。
an，数列?bn(an?1)2?x2y2?1的右焦点，12．已知F为椭圆C：?椭圆C上任意一点P到点F的距离与点P到
43直线l：x?m的距离之比为
（1）求直线l方程；
1。 2（2）设A为椭圆C的左顶点，过点F的直线交椭圆C于D、E两点，直线AD、AE与直线l分别相交于M、N两点。以MN为直径的圆是否恒过一定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由。
13．如图，在五边形ABCDE中，BC∥AE，AB?BC?AE，?ABC??CDE，M为CE中点，O为△BCD的外心，且OM?MD。延长DM至点K，使得MK?MD。
（1）求证：?BKC??BDC； （2）求证：?ABC?2?BDA。
14．已知f(x)?aln(x?1)?1?3x?1。 x?1（1）若x?0时，f(x)?0恒成立，求实数a的取值范围； （2）求证：立。
15．给定2014个和为1的非负实数a1，a2，a3，…，a2014。
证明：存在a1，a2，a3，…，a2014的一个排列x1，x2，x3，…，x2014，满足
x1x2?x2x3?L?x2013x2014?x2014x1?1。 2014234n?11???L??ln(2n?1)对一切正整数n均成22224?1?14?2?14?3?14?n?14
2014年福建省高中数学竞赛
暨2014年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案
（考试时间：2014年5月17日上午9：00－11：30，满分160分）
一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上） 1．已知直线l1：ax?2y?6?0，l2：x?(a?1)y?a2?1?0，若l1?l2，则a? 。 【答案】
2 32。 3【解答】l1?l2?a?1??2(a?1)?0?a?2．函数f(x)?3sin2x?sinxcosx??1?1? 【答案】 x???，?2?3????（x??，?）的值域为 。 2?122?【解答】f(x)?3?1?cos2x1313??sin2x??sin2x?cos2x?sin(2x?)。 222223??2?1?????由x??，?知，??2x??，??sin(2x?)?1。
63323?122?3．在三棱锥D?ABC中，AB?BC?2，AB?BC，BC?CD，DA?AB，?CDA?60?。则三棱锥D?ABC的体积为 。
【答案】
4 3【解答】如图，作DE?面ABC于E，连EA、EC、ED。 ∵ BC?CD，DA?AB，
∴ EC?CB，EA?AB，四边形EABC为矩形。 由AB?BC知，四边形EABC为正方形，且DA?DC。 又?CDA?60?，因此，△DAC为正三角形，DA?AC。 ∴
EA2?ED2?EA2?EC2。于是，ED?EC?2。
114∴ 三棱锥D?ABC的体积为?(?2?2)?2?。
323y2?1的左、右焦点，P为双曲线C上一点，且点P在4．已知F1、F2为双曲线C：x?242PF14第一象限。若?，则△PF1F2内切圆半径为 。
PF23【答案】 2
【解答】设PF1?4t，则PF2?3t，4t?3t?PF1?PF2?2。
△PF1F2为直角三角形，PF1?PF2。于是，结合F1F2?10知， t?2，PF1?8，PF2?6，
∴ △PF1F2内切圆半径r?6?8?10?2。 25．已知集合A??xx2?2x?8?0?，B??xx2?2ax?4?0?。若a?0，且A?B中恰有1个整数，则a的取值范围为 。
?135?【答案】 ?，?
?62?【解答】A??xx??4或x?2?。
设f(x)?x2?2ax?4，则f(x)的轴对称x?a?0。 由f(?4)?16?8a?4?0，知B??xx??4???。 因此，A?B中恰有的一个整数为3。
?f(3)?9?6a?4?0135?135?∴ ?，解得?a?。故，a的取值范围为?，?。
62?62??f(4)?16?8a?4?06．若分数
pp（p，q为正整数）化成小数为?0.198L，则当q取最小值时，
qqp?q? 。
【答案】 121 【解答】由于是，
p1p1
?0.198L?，知?，q?5p，记q?5p?m（m为正整数）。 q5q5
p?0.198L，0.198(5p?m)?p?0.199(5p?m)。
5p?m∴ 19.8m?p?39.8m。
当m?1时，20?p?39，取p?20，m?1时，q最小为101。 又
20?0.19801980L符合要求。故，当q最小时，p?q?121。 1017．随机地投掷3粒骰子，则其中有2粒骰子出现的点数之和为7的概率为 。 【答案】
5 12【解答】投掷3粒骰子共有63?216种可能。考虑7?1?6?2?5?3?4。
投掷三粒骰子，有两粒骰子出现1和6的可能有6?6?6?30（种）。
（分为(1，6，?)，(1，，?6)，(6，，1?)，(6，，?1)，(?，，16)，(?，6，1)这6种可能，每类有6种情况。其中，(1，，61)，(1，6，6)，(1，，16)，(6，，11)，(6，，16)，(6，6，1)重复出现）
同理，投掷三粒骰子，有两粒骰子出现2和5的可能与有两粒骰子出现3和4的可能均为30种。
∴ 投掷3粒骰子，其中有2粒骰子出现的点数之和为7的有3?30?90种可能。 ∴ 所求概率为
905?。 21612uuuruuuruuur8．已知点A(1，平面区域D由所有满足AP??AB??AC（1???a，?1)，B(4，0)，C(2，2)。
的点P(x，若区域D的面积为8，则a?b的最小值为 。 1???b）y)组成的区域。
【答案】 4
【解答】如图，延长AB至点N，延长AC至点M，使得
AN?aAB，AM?bAC。
四边形ABEC、ANGM、EHGF均为平行四边形。 由条件知，点P(x，即y)组成的区域D为图中的阴影部分，四边形EHGF（不含边界EH、EF）。
uuuruuuruuur1)，AC?(1，3)，BC?(?2，2)。 ∵ AB?(3，∴
cos?CAB?AB?10，AC?10，BC?22，
10?10?834?，sin?CAB?。
52?10?105∴ 四边形EHGF的面积为(a?1)10?(b?1)10?∴ (a?1)(b?1)?1，a?b?a?(4?8。 511?1)?(a?1)??2。 a?1a?1由a?1，b?1知，当且仅当a?1?1，即a?b?2时，a?b取最小值4。
23?82014??8??8??8?9． A??????????L??（符号?x?表示不?被63除的余数为 。
9999????????超过x的最大整数。）
【答案】 56
82k?182k82k?182k??82k?1。 【解答】∵ 对任意正整数k，与均不是整数，且
9999?82k?1??82k?82k?182k??????1?82k?1?1?7(mod63)。 ∴ 对任意正整数k，??99?9??9?
全国高中数学联赛福建省预赛试题及详解
