由此得
ydx?xdy?eydy?整理得
yydx?xdy ?xy2dyy?xy2 ?2ydxxy?xye?x 4.设函数y?y(x)由参数方程
?t2?x?2 ??y?1?t?确定，求
dy。 dx
解：由参数求导法
dyyt??11???? dxxt?2tt25．设y?(1?x2)arctanx，求y??。
12?2xarctanx?1 解 y??2xarctanx?(1?x)1?x22xy???(2xarctanx?1)??2arctanx? 21?x
第四章 导数的应用典型例题
一、填空题
1.函数y?ln(1?x2)的单调增加区间是 . ?2x，当x?0时y??0.故函数的单调增加区间是(??,0). 21?xlnx? . 2.极限limx?11?x解：y??解：由洛必达法则
1lnx(lnx)?lim?lim?limx??1 x?11?xx?1(1?x)?x?1?11x?x3.函数f(x)?(e?e)的极小值点为 。
21x?xx?0解：f?(x)?(e?e)，令f?(x)?0，解得驻点x?0，又x?0时，f?(x)?0；
21x?x时，f?(x)?0，所以x?0是函数f(x)?(e?e)的极小值点。
2二、单选题
1.函数y?x?1 在区间[?2,2]上是（ ）
A） 单调增加 B）单调减少
C）先单调增加再单调减少 D）先单调减少再单调增加
2解：选择D
y??2x，当x?0时，f?(x)?0；当x?0时，f?(x)?0；所以在区间[?2,2]上函数
y?x2?1先单调减少再单调增加。
2. 若函数y?f(x)满足条件（ ），则在(a,b)内至少存在一点?(a???b)，使得
f(b)?f(a)f?(?)?
b?a成立。
A）在(a,b)内连续； B）在(a,b)内可导；
C）在(a,b)内连续，在(a,b)内可导； D）在[a,b]内连续，在(a,b)内可导。 解：选择D。
由拉格朗日定理条件，函数f(x)在[a,b]内连续，在(a,b)内可导，所以选择D正确。
3. 满足方程f?(x)?0的点是函数y?f(x)的（ ）。 A）极值点 B）拐点 C）驻点 D）间断点 解：选择C。
依驻点定义，函数的驻点是使函数一阶导数为零的点。 4.设函数f(x)在(a,b)内连续，x0?(a,b)，且f?(x0)?f??(x0)?0，则函数在x?x0处（ ）。
A）取得极大值 B）取得极小值
C）一定有拐点(x0,f(x0)) D）可能有极值，也可能有拐点
解：选择D
函数的一阶导数为零，说明x0可能是函数的极值点；函数的二阶导数为零，说明x0可能是函数的拐点，所以选择D。
三、解答题 1.计算题
求函数y?x?ln(1?x)的单调区间。
1?x)的定义区间为(?1,??)，由于 解：函数y?x?ln(1x? 1?x1?x令y??0，解得x?0，这样可以将定义区间分成(?1,0)和(0,??)两个区间来讨论。当?1?x?0时，y??0；当0?x???是，y??0。
1?x)在(?1,0)内单调递减，在(0,??)内单调增加。 由此得出，函数y?x?ln( y??1? 2.应用题
欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法所用材料最省？
解：设底边边长为x，高为h，所用材料为y
且 xh?108,h? y?x?4xh
22108 2x1084322?x? x2x2?4322x3?432? y??2x? 22xx3令y??0得2(x?216)?0?x?6，
且因为x?6,y??0;x?6,y??0，所以x?6,y?108为最小值.此时h?3。
?x?4x2于是以6米为底边长，3米为高做长方体容器用料最省。
3．证明题：当x?1时，证明不等式
e?xe
证 设函数f(x)?lnx，因为f(x)在(0,??)上连续可导，所以f(x)在[1,x]上满足拉格朗日中值定理条件，有公式可得
f(x)?f(1)?f?(c)(x?1) 其中1?c?x，即
lnx?ln1?又由于c?1，有
x1(x?1) c1?1 clnx故有 lnx?x?1
?ex?1
ex即 x?
e所以当x?1时，有不等式
x e?xe
两边同时取以e为底的指数，有e成立.
第5章学习辅导（2）
典型例题解析
一、填空题
⒈曲线在任意一点处的切线斜率为2x，且曲线过点(2,5)，则曲线方程为 。
解：?2xdx?x2?c，即曲线方程为y?x2?c。将点(2,5)代入得c?1，所求曲线方程为
y?x2?1
⒉已知函数f(x)的一个原函数是arctanx2，则f?(x)? 。
2x解：f(x)?(arctanx2)??
1?x42x2(1?x4)?8x42?6x4 ?4242 f?(x)?(1?x4)??(1?x)(1?x)⒊已知F(x)是f(x)的一个原函数，那么?f(ax?b)dx? 。 解：用凑微分法
11f(ax?b)d(ax)?f(ax?b)d(ax?b) ?a?a?11 ??dF(ax?b)?F(ax?b)?c
aa
二、单项选择题
⒈设?f(x)dx?xlnx?c，则f(x)?（ ）。
f(ax?b)dx? A. lnx?1； B. lnx；
C. x； D. xlnx 解：因
f(x)?(xlnx)??lnx?x?lnx?1 x故选项A正确．
⒉设F(x)是f(x)的一个原函数，则等式（ ）成立。
d A.(?f(x)dx)?F(x)； B.?F?(x)dx?f(x)?c；
dxdC.?F?(x)dx?F(x)； D.(?f(x)dx)?f(x)dx
解：正确的等式关系是
d(f(x)dx)?f(x) dx??F?(x)dx?F(x)?c 故选项D正确．
⒊设F(x)是f(x)的一个原函数，则?xf(1?x2)dx?（ ）。
A. F(1?x2)?c； B. ?F(1?x2)?c；
1C. ?F(1?x2)?c； D. F(x)?c2 解：由复合函数求导法则得
11[?F(1?x2)]???f(1?x2)(1?x2)? 221 ??f(1?x2)(1?x2)??xf(1?x2)
2故选项C正确．
三、计算题
⒈计算下列积分：
⑴?x21?x解：⑴利用第一换元法
x1122dx?d(x)??d(1?x) ?1?x2?21?x2?21?x2dx ⑵?1?x2dx 2x
???d(1?x2)?1?x2?c ⑵利用第二换元法，设x?sint，dx?costdt
1?x2cost?cost1?sin2t1dx?dt?dt?(?x2?sin2t?sin2t?sin2t?1)dt
1?x2 ??cott?t?c???arcsxin?c
x
⒉计算下列积分：
⑴?arcsinxdx ⑵?lnxdx x2
解：⑴利用分部积分法
?arcsinxdx?xarcsinx??xd(arcsinx)?xarcsinx?? ?xarcsxin??x1?x2dx
121?x2d(1?x2)
?xarcsxin?1?x2?c ⑵利用分部积分法
lnx1lnx1dx?lnxd(?)????x2??xd(lnx) xxlnx1lnx1??2dx????c ??xxxx
高等数学（1）第六章学习辅导
综合练习题
（一）单项选择题
（1）．下列式子中，正确的是（ ）。
A. C.
?1022f(x)dx?0 B.
?x2dx??10xdx D.
x?)dx?dt??3fx(dx3t??1a0bb2120af(x)dx (2). 下列式子中，正确的是（ ）
?0?? A. ??costdt??cosx B. ? ? ?/?x???2costdt??cosx?0????x?C. ? D. costdt?0??0????x????0costdt??cosx ??(3) 下列广义积分收敛的是（ ）。
A C.
(4)
????00exdx .B. ???1dx
1x??cosxdx D.
???1x12dx
)。
若f(x)是[?a,a]上的连续偶函数，则 A.
?a?af(x)dx?(?0C．2?a0f(x)dx B． 0
f(x)dx D．?f(x)dx
0a??a
2018年电大高等数学基础形成性考核册及复习题考试题资料附答案
