【变式3】、已知：如图，AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点． 求证：△DFE∽△ABC． 类型三、相似三角形的性质 1、△ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由. 2、如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形 相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积. 举一反三 【变式1】△ABC中，DE∥BC，M为DE中点，CM交AB于N，若 - 11 -
，求.
类型四、相似三角形的应用 举一反三 【变式1】、如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身 影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m， 他的影长是2 m． 【变式2】、已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一 边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC？ 类型五、相似三角形的周长与面积 1、已知：如图，在△ABC与△CAD中，DA∥BC，CD与AB相交于E点，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交 AC于F点，△ADE的面积为1，求△BCE和△AEF的面积． - 12 -
【变式2】、如图，已知：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB，P点在AC上(与点A、C不重合)，Q点在BC上． (1)、当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长； (2)、当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长； 类型六、综合探究 1、如图，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点(不与A、D重合)，PE⊥BP，P为 垂足，PE交DC于点E， (1)、设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围； (2)、请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如 果不能，请说明理由. - 13 -
中考链接： 例1、 如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG‖AB，BG分别交AD，AC于E、 F，求证：BE2＝EF·EG 证明：如图，连结EC，∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠ABC＝∠ACB，AD垂直平分BC ∴BE＝EC，∠1＝∠2，∴∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2， 即∠3＝∠4，又CG∥AB，∴∠G＝∠3，∴∠4＝∠G CEEF又∵∠CEG＝∠CEF，∴△CEF∽△GEC，∴EG=CE ∴EC2＝EG· EF，故EB2=EF·EG 【解题技巧点拨】 本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证 明．而其中利用线段的垂直平分线的性质得到BE=EC，把原来处在同一条直线上的三条线段BE，EF，EC转换到 相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。 FBFD例2 、 已知：如图，AD是Rt△ABC斜BC上的高，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于F，求证：BA=AC - 14 -
证法一：如图，在Rt△ABC中，∵∠BAC＝Rt∠，AD⊥BC， ∴∠3＝∠C，又E是Rt△ADC的斜边AC上的中点， 1∴ED=2AC＝EC，∴∠2＝∠C，又∠1＝∠2，∴∠1＝∠3， FBBD∴∠DFB＝∠AFD，∴△DFB∽△AFD，∴FD＝AD （1） BDBA又AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，∴Rt△ABD∽Rt△CAD，∴AD=AC （2） FBBAFBFD由（1）（2）两式得FD=AC，故BA=AC FBFD证法二：过点A作AG∥EF交CB延长线于点G，则BA=AG （1） ∵E是AC的中点，ED∥AC，∴D是GC的中点，又AD⊥GC，∴AD是线段GC的垂直平分线，∴AG＝AC （2） FBFD由（1）（2）两式得：BA=AC，证毕。 【解题技巧点拨】 BD本题证法中，通过连续两次证明三角形相似，得到相应的比例式，然后通过中间比“AD”过渡，使问题得证，证法二中是运用平行线分线段成比例定理的推论，三角形的中位线的判定，线段的垂直平分线的判定与性质使问题得证． 一、如何证明三角形相似 例1、如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽ ∽ 。 AD 42F 3CBE1 A G 例2、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD D CB 例3：已知，如图，D为△ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD 求证：△DBE∽△ABC - 15 -
（新整理）最新北师大版九年级上相似三角形
