2、几种基本图形的具体应用： （1）、若DE∥BC（A型和X型）则△ADE∽△ABC （2）、射影定理 若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形） 则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB； ADBECEABDC （3）、满足1、AC2=AD·AB，2、∠ACD=∠B，3、∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB． ADAE?（4）、当ACAB或AD·AB=AC·AE时，△ADE∽△ACB． ADCADBADEC B BC 知识点9：全等与相似的比较： 三角形全等 两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS) 直角三角形中一直角边与斜边对应相等(HL) 知识点10 、相似三角形的性质 (1)、相似三角形对应角相等，对应边成比例． (2)、相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)、相似三角形周长的比等于相似比． (4)、相似三角形面积的比等于相似比的平方． 注意：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等． - 6 -
三角形相似 相似判定的预备定理 两角对应相等 两边对应成比例，且夹角相等 三边对应成比例 直角三角形中斜边与一直角边对应成比例
知识点11 、相似三角形中有关证（解）题规律与辅助线作法 1、证明四条线段成比例的常用方法： (1)、线段成比例的定义 (2)、三角形相似的预备定理 (3)、利用相似三角形的性质 (4)、利用中间比等量代换 (5)、利用面积关系 知识点12 、相似多边形的性质 (1)、相似多边形周长比，对应对角线的比都等于相似比． (2)、相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比． (3)、相似多边形面积比等于相似比的平方． 注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此，熟练掌握相似三角形知识是基础和关键． 知识点13 、位似图形有关的概念与性质及作法 1、如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形. 2、 这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比. 注意： （1）、位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点. （2）、位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形. （3）、 位似图形的对应边互相平行或共线. 3、位似图形的性质： 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 注：位似图形具有相似图形的所有性质. 4、 画位似图形的一般步骤： （1）、确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点） （2）、分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）. （3）、根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置. （4）、 顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形. ①②③④⑤ 注意：①、位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形内，或在图形外，或在图形上 （图形边上或顶点上）。 ②、外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外位似” （即同向位似图形） - 7 -
③、内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上，称为“内位似”（即反向位似图形） （5）、 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似中心，相似比为k（k>0）,原图形上点的坐标为（x,y）,那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky), 反向位似图形对应点的坐标为(-kx,-ky), - 8 -
相似三角形经典例题透析 类型一、相似三角形的概念 1、判断对错： (1)、两个直角三角形一定相似吗？为什么？ (2)、两个等腰三角形一定相似吗？为什么？ (3)、两个等腰直角三角形一定相似吗？为什么？ (4)、两个等边三角形一定相似吗？为什么？ (5)、两个全等三角形一定相似吗？为什么？ 思路点拨：要说明两个三角形相似，要同时满足对应角相等，对应边成比例.要说明不相 似，则只要否定其中的一个条件. 解：(1)、不一定相似.反例 直角三角形只确定一个直角，其他的两对角可能相等，也可能不相等.所以直角三角形不 一定相似. (2)、不一定相似.反例 等腰三角形中只有两边相等，而底边不固定.因此两个等腰三角形中有两边对应成比例， 两底边的比不一定等于对应腰的比，所以等腰三角形不一定相似. (3)、一定相似. 在直角三角形ABC与直角三角形A′B′C′中 - 9 -
(4)、一定相似. 因为等边三角形各边都相等，各角都等于60度，所以两个等边三角形对应角相等，对应边 成比例，因此两个等边三角形一定相似. (5)、一定相似. 全等三角形对应角相等，对应边相等，所以对应边比为1，所以全等三角形一定相似，且 相似比为1. 【变式2】下列能够相似的一组三角形为( ) A、所有的直角三角形 B、所有的等腰三角形 C、所有的等腰直角三角形 D、所有的一边和这边上的高相等的三角形 类型二、相似三角形的判定 1、如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图 中各对相似三角形，并求出相应的相似比. 2、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6.在Rt△EDF中，∠F=90°，DF=3，EF=4，则 △ABC和△EDF相似吗？为什么？ 举一反三 【变式1】、已知：如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点． 求证：△ADQ∽△QCP． - 10 -
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（新整理）最新北师大版九年级上相似三角形
