选修2-1教师用书 第一章常用逻辑语言
第一课时 命题 一、主要知识
1. 命题概念:可以判断真假的陈述句叫做命题. 也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件.
2.对命题真假的理解与判断方法：
一个命题要么是真的，要么是假的，不能模棱两可．要判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可，而要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证．在判断时，要有推理依据，有时应综合各种情况作出正确的判断．
3. 一个命题总是存在条件和结论两部分，但有些命题的叙述中条件和结论不是很分明，为此要在理解的基础上进行等价转化，改写为“若p，则q”的形式．
二、必做作业
1．下列语句是命题的是( ) A．2 012是一个大数
B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点
C．对数函数是增函数吗？ D．a≤15 解析：A，D不能判断真假，不是命题；B能够判断真假而且是陈述句，是命题；C是疑问句，不是命题．答案：B
2．下列命题为假命题的是( ) A．log24＝2
B．直线x＝0的倾斜角是
π2 C．若|a|＝|b|，则a＝b
D．若直线a⊥平面α，直线a⊥平面β，则α∥β
解析：由|a|＝|b|只是得到a与b的模相等，但方向不确定，∴a与b不一定相等．答案：C
3．下列命题是真命题的是( ) A．若3∈B,3∈A，则A∩B＝{3} B．若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数
C．若a＞b，则
1a?1b
D．若a·b＝b·c，则a＝c
解析：由f(x)＝log2x，得f(|x|)＝log2|x|，易判断该函数是偶函数，则B为真命题．答案：B
4．命题“圆内接四边形的对角互补”的条件p是______________，结论q是________________．
答案：四边形是圆内接四边形 该四边形的对角互补
5．已知命题“方程x2＋y2
－2my＋2＝0表示的曲线是圆”是真命题，则m的取值范围是______．
解析：由已知可得m2
－2＞0，解得m＜?2或m＞2，即m∈(－∞，?2)∪(2，＋∞)．答案：(－∞，?2)∪(2，＋∞)
6．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并指出条件与结论． (1)相似三角形的对应角相等； (2)当a>1时，函数y＝ax是增函数． 解 (1)若两个三角形相似，则它们的对应角相等． 条件p：三角形相似， 结论q：对应角相等．
(2)若a>1，则函数y＝ax是增函数． 条件p：a>1，
结论q：函数y＝ax是增函数． 三、选做题
7. 判断下列命题的真假：
(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；
(2)对任意的x∈N，都有x3>x2成立； (3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；
(4)存在一个三角形没有外接圆．
解 (1)假命题．反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2.
(2)假命题．反例：当x＝0时，x3>x2不成立．
(3)真命题：∵m>1?Δ＝4－4m<0，∴方程x2－2x＋m＝0无实数根．
(4)假命题．因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆．
第二课时 四种命题间的相互关系 一、主要知识 1.四种命题的概念：
原逆否命逆否命命题 命题 题 题 若若若若p，则q，则p ?p，则?q，则q ?q ?p 2. 四种命题的相互关系： 原互逆若命p则题q逆命题互若q则p互为逆否互否为逆否否互否逆否命题若命┐p题则┐q互逆若┐q则┐p
3. 互为逆否的两个命题的真假性相同, 互为逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.
二、必做作业
1．命题“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的
否命题是( )
A．若A∪B≠A，则A∩B≠B B．若A∩B＝B，则A∪B＝A C．若A∩B≠B，则A∪B≠A D．若A∪B≠A，则A∩B＝B
解析：命题“若p，则q”的否命题
为“若p，则q”，故A正确．答案：A
2.命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b，
c∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )． A．0 B．2 C．3 D．4
解析 原命题“若a>b，则ac2
>bc2
(a，b，
c∈R)”为假命题，逆命题“若ac2>bc2，则a>b(a，b，c∈R)”为真命题，否命题“若a≤b，则ac2≤bc2，(a，b，c∈R)”为真命
题，逆否命题“若ac2
≤bc2
，则a≤b(a，b，
c∈R)”为假命题．
答案 B
3．命题“若x2
＜1，则－1＜x＜1”的
逆否命题是( ) A．若x2
≥1，则x≥1或x≤－1
B．若－1＜x＜1，则x2
＜1 C．若x＞1或x＜－1，则x2
＞1
D．若x≥1或x≤－1，则x2
≥1
解析：改写逆否命题时，注意“＜”，
“且”的否定分别是“≥”，“或”． 答
案：D 4．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是__________． 解析：设命题p为“若m，则n”，∴命题q为“若m，则n”，命题r为“若n，则m”．∴q与r是互逆命题．答案：互逆命题
5．“若x、y全为零，则xy＝0”的否命题为__________．
解析 由于“全为零”的否定为“不全为零”，所以“若x、y全为零，则xy＝0”的否命题为“若x、y不全为零，则xy≠0”． 答案 若x、y不全为零，则xy≠0
6．判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，同时判断这些命题的真假．
(1)若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数；
答案：解：原命题为真命题．
逆命题：若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数，是真命题．
否命题：若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数，是真命题．
逆否命题：若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数，是真命题．
(2)若数列{an}是等差数列，则2a2＝a1
＋a3．
答案：解：原命题为真命题．
逆命题：若2a2＝a1＋a3，则数列{an}是等差数列，是假命题．
否命题：若数列{an}不是等差数列，则2a2≠a1＋a3，是假命题．
逆否命题：若2a2≠a1＋a3，则数列{an}不是等差数列，是真命题．
三、选作题
7.命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2
＋ax＋b≤0有非空解集，则a2
－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假． 解 逆命题：已知a、b为实数，若a2
－4b≥0，则关于x的不等式x2
＋ax＋b≤0有非空解集．
否命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2
＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2
－4b<0.
逆否命题：已知a、b为实数，若a2
－4b<0，则关于x的不等式x2
＋ax＋b≤0没有非空解集．
原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．
充分条件与必要条件
第一课时 充分条件与必要条件 一、主要知识
1. .推断符号“?”的含义： 一般地,如果“若p,则q”为真, 即如果p成立，那么q一定成立,记作:
“p?q”;
如果“若p,则q”为假, 即如果p成立，那么q不一定成立,记作:“p??q”.
2．充分条件与必要条件
一般地，如果p?q，那么称p是q的充分条件；同时称q是p的必要条件．
二、必做作业
1．“x2
>2 012”是“x2
>2 011”的( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 由于“x2
>2 012”时，一定有“x2
>2 011”，反之不成立，所以“x2
>2 012”是“x2
>2 011”的充分不必要条件． 答案 A
2．“|x|＝|y|”是“x＝y”的( )． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析 因|x|＝|y|?x＝y或x＝－y，但x＝
y?|x|＝|y|.
答案 B
3．设x∈R，则“x?12”是“2x2
＋x－1＞0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由2x2
＋x－1＞0，可得x＜－1或x>12，答案：A ∴“x>12
2”是“2x＋x－1＞0”的充
分不必要条件．
4．“x＝－3”是“x2
＋2x－3＝0”的__________(用“充分条件”“必要条件”填空)．
答案：充分条件 解析：由x2
＋2x－3＝0，得x＝－3或x＝1，
∴x＝－3?x2
＋2x－3＝0，
即“x＝－3”是“x2
＋2x－3＝0”的充分条件．
5．已知下列命题：
①“a＝1”是“函数y＝2ax递增”的充分不必要条件；②对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的必要不充分条件；③给定空间中的直线l及平面α，“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的充要
条件；④“x＞3”是“(x－1)(x－3)＞0”的充分不必要条件．
其中正确的是____________．(填序号) 答案：①③④ 解析：对于②，由a＋b＝0可得a＝－b，∴a∥b．
反之a∥b时，设a＝kb，则当k≠－1时，a＋b≠0．
∴“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件．故②不正确．①③④正确．
6.在△ABC中，判断“sin 2A＝3
2”是“A＝30°”的什么条件．
解析 若A＝30°，显然有sin 2A＝
32
，但sin 2A＝3
2时，在△ABC中，有2A＝60°
或2A＝120°，即不一定有A＝30°，故“sin 2A＝
3
2
”是“A＝30°”的必要不充分条件． 三、选作题 7. 判断p：|x－2|≤5是q：x≥－1或x≤5的什么条件，说明理由． 解 p是q的充分不必要条件．
∵p：|x－2|≤5的解集为P＝{x|－3≤
x≤7}；
q：x≥－1或x≤5就是实数集R.
∴P?R，也就是p?q，q p，故p是q的充
分不必要条件．
第二课时 充要条件
一、主要知识
1.一般地，如果既有p?q，又有
q?p，就记作p?q. 此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.
2. 命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：
（1）充分必要条件（充要条件），即
p?q且q?p；
（2）充分不必要条件，即p?q且
q??p；
（3）必要不充分条件，即p??q且
q?p；
（4）既不充分又不必要条件，即p??q且
q??p．
二、必做作业
1．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：
ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平
行”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：l1与l2平行的充要条件为a×2＝2×1且a×4≠－1×1，得a＝1，故选C．答案：C
2．已知两条直线a，b和平面α，若b?α，则“a∥b”是“a∥α”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：如图①可知a∥b，但a?α，并不是a∥α；反过来，如图②，a∥α，但a与b异面，也不是a∥b，∴“a∥b”是“a∥α”的既不充分也不必要条件．答案：D
三、选作题
7.已知p：x<－2或x>10，q：1－m≤x≤1＋m，若?p是q的充分不必要条件，求实
2
3．函数f(x)＝x2
＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是( )．
A．m＝－2 B．m＝2 C．m＝－1 D．m＝1
解析 当m＝－2时，f(x)＝x2
－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，所以f(x)＝x2
＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2. 答案 A
4．给定空间中直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的______条件． 解析 “直线l与平面α内两条相交直线都垂直”?“直线l与平面α垂直”． 答案 充要条件
5．下列不等式：①x<1；②0 <1的一个充分条件的所有序号为________． 解析 由于x2 <1即－1 6．判断p：|x－2|≤5是q：x≥－1或x≤5的什么条件，说明理由． 解 p是q的充分不必要条件． ∵p：|x－2|≤5的解集为P＝{x|－3≤ x≤7}； q：x≥－1或x≤5就是实数集R. ∴P?R，也就是p?q，q p， 故p是q的充分不必要条件． 数m的取值范围． 解 ?p：A＝{x|－2≤x≤10}， q：B＝{x|1－m≤x≤1＋m2}， ∵?p是q的充分不必要条件，∴AB. ?1－m<－2，∴??1＋m2 >10，∴m>3. ??1－m<1＋m2， 故所求实数m的取值范围为(3，＋∞)． 简单的逻辑联结词 第一课时 简单的逻辑联结词 一、主要知识 1.命题p?q： ①一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作 p?q，读作“p且q”. ②规定：当p，q都是真命题时，p?q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p?q是假命题. 2.命题p?q: ①一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作 p?q，读作“p或q”. ②规定：当p，q两个命题中有一个命题是真命题时，p?q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p?q是假命题. 二、必做作业 1．若p、q是两个简单命题，且“p或
数学选修2-1 教师用书 (1)
