第十章 静电场中的导体和电介质
10–1 如图10-1所示，有两块平行无限大导体平板，两板间距远小于平板的线度，设板面积为S，两板分别带正电Qa和Qb，每板表面电荷面密度 σ1σ2，σ3= σ4
解：建立如图10-2所示坐标系，设两导体平板上的面电荷密度分别为σ1，σ2，σ3，σ4。由电荷守恒定律得
σ1 Qa Qb σ2 σ3 σ4
σ1S+σ2S=Qa （1） σ3S+σ4S=Qb （2）
设P，Q是分别位于二导体板内的两点，如图10-2所示，由于P，Q位于导板内，由静电平衡条件知，其场强为零，即 图10-1
Q
Q σσσσ
EP=---=0 （3）
2ε02ε02ε02ε0 EQ=
σ1σ2σ3σ4
++-=0 （4） 2ε02ε02ε02ε0 σ 2 σ
4 Q
由方程（1）~（4）式得 Q+Qb
（5） σ1=σ4=a 2S
Q-Q （6） σ2=-σ3=2S
1，4），带等量同号电荷。 图10-2
由此可见，金属平板在相向的两面上（面2，3），带等量异号电荷，背向的两面上（面10–2 如图10-3所示，在半径为R的金属球外距球心为a的D处放置点电荷+Q，球内一点P到球心的距离为r，OP与OD夹角为θ，感应电荷在P点产生的场强大小为 ，方向 ；P点的电势为 。 图10-3 图10–
4
解：（1）由于点电荷+Q的存在，在金属球外表面将感应出等量的正负电荷，距+Q的近
端金属球外表面带负电，远端带正电，如图10-4所示。P点的场强是点电荷+Q在P点产生的场强E1，与感应电荷在P点产生的场强E2的叠加，即EP=E1+E2，当静电平衡时，EP=E1+E2=0，由此可得 E2=-E1=- Q
4πε0(a+r-2arcosθ) 2 2 er
其中er是由D指向P点。
因此，感应电荷在P点产生的场强E2的大小为
101 E2=Q
4πε0(a+r-2arcosθ)22
方向是从P点指向D点。
（2）静电平衡时，导体是等势体。P点的电势VP等于球心O点的电势VO。而由电势叠加原理，球心O点的电势VO是由点电荷+Q在该点的电势V1和感应电荷在该点的电势V2的叠加，即 VP=VO=V1+V2
其中，点电荷+Q在O点的电势V1为
V1=Q 4πε0a
由于感应电荷是非均匀地分布在导体球外表面，设球面上面积元dS处的面电荷密度为σ，则它在球心的电势为
O点产生的电势为 σdS，考虑球的半径是一常量，故整个球面上的感应电荷在球心4πε0R
V2= ??σdS1=S4πε0R4πε0R ??SσdS 由电荷守恒可知，感应电荷的代数和 V2= ??SσdS=0。因此 ??SσdS=0
QQ+0= 4πε0a4πε0a14πε0R所以，P点电势为 VP=VO=V1+V2=
10–3 如图10-5所示，三个无限长、半径分别为R1，R2，R3的同轴导体圆柱面。A和C接地，B带电量为Q，则B的内表面的电荷Q1和外表面的电荷Q2之比为 。
解：三个导体圆柱面构成两个圆柱形电容器，电容分别为 QRCBA==2πε0Lln VB-VAR1CBC=RQ=2πε0Lln VB-VCR2 由于A和C接地，则VB-VA=VB-VC，因此 Rln2
Q1R1= R3Q2lnR2图10–5
10–4 一平行板电容器，充电后断开电源，然后使两极板间充满相对介电常数为εr的各向同性均匀电介质，此时电场能量是原来的 倍。如果在充入电介质时，电容器一直与电源相连，能量是原来的 倍。
q2
解：一平行板电容器，充电后断开电源，其电荷量不变，根据电容器能量公式We=，2C可得电容器充入电介质后的能量W′与充入电介质前的能量W之比为
102
We'CC1=== WeC'εrCεr
1若电容器一直与电源相连，电容器电压不变，根据公式W=CV2，可得 2 We'C'εC===εr WeCC
10–5 一平行板电容器两极板间电压为V，其间充满厚度为d，相对介电常数为εr的各向同性均匀电介质，则电介质中的电场能量密度we 。 解：电介质内场强为E=V。故电介质中的电场能量密度为 d
2ε0εrV2121?V? we=εE=ε0εr ?=222d??2d
10–6 如图10-6所示，真空中有一点电荷q，旁边有一半径为R的球形带电导体，q距球心为d（d>R），球体旁附近有一点P，P在q与球心的连线上，静电平衡时，P点附近导体的面电荷密度为σ 。以下关于P点电场强度大小的答案中，正确的是[ ]。 A．σq+ 2ε04πε0(d-R)2
σq-B． 2ε04πε0(d-R)σq+ ε04πε0(d-R)2 σq-D． ε04πε0(d-R)2C． E．图10–6
σ ε0
F．以上答案全不对
解：导体处于静电平衡时，邻近导体表面P处的电场强度大小为σ /ε0，正确答案选（E）。 10–7 如图10-7所示，一半径为R的金属球接地，在与球心相距d=2R处有一点电荷+q，则金属球上的感应电荷q′为[ ]。 A．+qq B．0 C．- D．由于感应电荷分布非均匀，因此无法求出 22 q 解：金属球面上感应电荷q′分布非均匀，设感应电荷的面电荷密度为σ，在导体球面面积元dS处的感应电荷为σdS，则它在球心的电势为σdS，故整个球面上4πε0R
q' 4πε0R感应电荷在球心O处产生的电势为 V1= ??σdS1=S4πε0R4πε0R ??SσdS=图10–7 电荷+Q在球心O处产生的电势为
103
V2=q 4πε0(2R)
由电势叠加原理，球心O处的电势由点电荷+q和导体表面的感应电荷q′在该处产生的电势的叠加，又由于金属球接地，于是 VO=V1+V2=q'q+=0 4πε0R4πε0(2R)
由此可求得导体表面上存在感应电荷为
qq'=- 2
故应选（C）。
10–8 下列说法正确的是[ ]。
A．高斯面上各点的D为零，则面内必不存在自由电荷
B．高斯面上各点的E为零，则面内自由电荷的代数和为零，极化电荷的代数和也为零
C．高斯面内不包围自由电荷，则面上各点D必为零
D．高斯面上各点的D仅与自由电荷有关
解：高斯面上各点的D为零，表明曲面内自由电荷的代数和一定为零；所以（A）说法错误。
由电介质的高斯定理 ??SD?dS=∑Qi和D=εE，可知高斯面上各点的E为零，则曲面内自由电荷的代数和一定为零。又由 ??SE?dS=ε0∑1qin=Qi+q'，可知极化电荷∑ε01
的代数和也为零，所以（B）说法正确。
第十章 静电场中的导体和电介质习题解讲解
