几何模型压轴题同步单元检测（Word版 含答案）
一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）
1．探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°．
（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系 ；
②如图2，若∠B、∠D都不是直角，但满足∠B+∠D＝180°，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝22．点D、E均在边BC边上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的长．
【答案】（1）①EF＝BE+DF；②成立，理由详见解析；（2）DE＝【解析】 【分析】
5． 3（1）①根据旋转的性质得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案； ②根据旋转的性质作辅助线，得出AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，求出C、D、G在一条直线上，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案；
（2）如图3，同理作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出∠ABC＝∠C＝45°，BC＝4，根据旋转的性质得出AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，求出∠FAD＝∠DAE＝45°，证△FAD≌△EAD，根据全等得出DF＝DE，设DE＝x，则DF＝x，BF＝CE＝3﹣x，根据勾股定理得出方程，求出x即可． 【详解】
解：（1）∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，∠B＝∠ADG＝90°， ∵∠ADC＝90°， ∴∠ADC+∠ADG＝90° ∴F、D、G共线，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠DAF＝45°， ∴∠DAG+∠DAF＝45°， 即∠EAF＝∠GAF＝45°，
在△EAF和△GAF中，
?AF?AF?∵??EAF??GAF， ?AE?AG?∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF＝GF， ∵BE＝DG，
∴EF＝GF＝DF+DG＝BE+DF， 故答案为：EF＝BE+DF； ②成立，
理由：如图2，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，
则AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG， ∵∠B+∠ADC＝180°， ∴∠ADC+∠ADG＝180°， ∴C、D、G在一条直线上， 与①同理得，∠EAF＝∠GAF＝45°， 在△EAF和△GAF中，
?AF?AF?∵??EAF??GAF， ?AE?AG?∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF＝GF， ∵BE＝DG， ∴EF＝GF＝BE+DF；
（2）解：∵△ABC中，AB＝AC＝22，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝∠C＝45°， 由勾股定理得：BC＝AB2?AC2＝4，
如图3，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF，
则AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE， ∵∠DAE＝45°，
∴∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°， ∴∠FAD＝∠DAE＝45°，
?AD?AD?在△FAD和△EAD中??FAD??EAD，
?AF?AE?∴△FAD≌△EAD（SAS）， ∴DF＝DE， 设DE＝x，则DF＝x， ∵BC＝4，
∴BF＝CE＝4﹣1﹣x＝3﹣x， ∵∠FBA＝45°，∠ABC＝45°， ∴∠FBD＝90°，
由勾股定理得：DF2＝BF2+BD2， x2＝（3﹣x）2+12， 解得：x＝即DE＝
5， 35． 3【点睛】
本题考查了四边形的综合题，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，此题是开放性试题，运用类比的思想；首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解决问题的能力要求比较高．
2．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P、Q分别是边AB、BC上的两个动点（与点A、B、C不重合），且始终保持BP?BQ，AQ?QE，QE交正方形外角平分线CE于点E，AE交CD于点F，连结PQ．
（1）求证：?APQ≌?QCE； （2）证明：DF?BQ?QF；
（3）设BQ?x，当x为何值时，QF//CE，并求出此时?AQF的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当x??2?22时，QF//CE；
S?AQF??4?42．
【解析】 【分析】
（1）判断出△PBQ是等腰直角三角形，然后求出∠APQ=∠QCE=135°，再根据同角的余角相等求出∠PAQ=∠CQE，再求出AP=CQ，然后利用“角边角”证明即可； （2）根据全等三角形对应边相等可得AQ=EQ，判断出△AQE是等腰直角三角形，将
?ADF绕点A顺时针旋转90?得?F?AB，再证明?F?AQ≌?FAQ?SAS?；
（3）连结AC，设QFCE，推出?QCF是等腰直角三角形°，再证明
?ABQ≌?ADF?SAS?，根据全等三角形对应边相等可得QF=GF，AQ?AF，
?QAB??DAF?22.5?，分别用x表示出DF、CF、QF，然后列出方程求出x，再求出
△AQF的面积． 【详解】
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB?BC，?B??BCD??DCM?90?， ∵BP?BQ，
∴?PBQ是等腰直角三角形，AP?QC， ∴?BPQ?45?， ∴?APQ?135? ∵CE平分?DCM， ∴?DCE??ECM?45?， ∴?QCE?135?， ∴?APQ??QCE?135?， ∵AQ?QE，
∴?AQB??CQE?90?． ∵?AQB??BAQ?90?． ∴?BAQ??CQE．
∴?APQ≌QCE?ASA?． （2）由（1）知?APQ≌?QCE． ∴QA?QE． ∵?AQE?90?，
∴?AQE是等腰直角三角形， ∴?QAE?45?． ∴?DAF??QAB?45?，
如图4，将?ADF绕点A顺时针旋转90?得?F?AB，
其中点D与点B重合，且点F?在直线BQ上，
则?F?AQ?45?，F?A?FA，AQ?AQ， ∴?F?AQ≌?FAQ?SAS?． ∴QF??QF?BQ?DF．
（3）连结AC，若QFCE，
则?FQC??ECM?45?． ∴?QCF是等腰直角三角形， ∴CF?CQ?2?x， ∴DF?BQ?x．
∵AB?AD，?B??D?90?， ∴?ABQ≌?ADF?SAS?．
∴AQ?AF，?QAB??DAF?22.5?， ∴AC垂直平分QF，
∴?QAC??FAC??QAB??FAD?22.5?，FQ?2QN， ∴FQ?2BQ?2x．
在Rt?QCF中，根据勾股定理，得(2?x)?(2?x)?(2x)． 解这个方程，得x1??2?22， x2??2?22（舍去）． 当x??2?22222时，QFCE．
几何模型压轴题同步单元检测(Word版 含答案)
