9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
核心考点·精准研析
考点一 直线与圆的位置关系
1.已知点M(a,b)在圆O:x+y=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系 是 ( )
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
2.若直线x+my=2+m与圆x+y-2x-2y+1=0相交,则实数m的取值范围为( ) A.(-∞,+∞) C.(0,+∞)
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B.(-∞,0)
D.(-∞,0)∪(0,+∞)
3.圆x+y-2x+4y=0与直线2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置关系为 ( ) A.相离 C.相交
2
B.相切 D.以上都有可能
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4.圆(x-3)+(y-3)=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点的个数为 ( ) A.1
B.2 C.3
D.4
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【解析】1.选B.因为M(a,b)在圆O:x+y=1外,所以a+b>1,而圆心O到直线ax+by=1的距
离d==
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<1,故直线与圆O相交.
2.选D.圆的标准方程为(x-1)+(y-1)=1,
圆心C(1,1),半径r=1.因为直线与圆相交,所以d=m<0.
3.选C.直线2tx-y-2-2t=0恒过点(1,-2),因为1+(-2)-2×1+4×(-2)=-5<0,所以点(1,-2)在圆x+y-2x+4y=0内,直线2tx-y-2-2t=0与圆x+y-2x+4y=0相交.
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4.选C.如图所示,因为圆心到直线的距离为=2,又因为
圆的半径为3,所以直线与圆相交,故圆上到直线的距离为1的点有3个.
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判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法:利用d与r的关系. (2)代数法:联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问题.
【秒杀绝招】 第3题中,直线2tx-y-2-2t=0恒过点(1,-2),且该点在圆内,所以直线与圆相交.
考点二 圆与圆的位置关系
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【典例】1.(2020·郑州模拟)已知圆C1:(x+2a)+y=4和圆C2:x+(y-b)=1只有一条公切线,
若a,b∈R且ab≠0,则A.2
B.4
2
+C.8
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的最小值为 D.9
( )
2.已知圆C:(x-3)+(y-4)=1与圆M关于x轴对称,Q为圆M上的动点,当Q到直线y=x+2的距离最小时,Q的横坐标为 ( )
A.2-
2
B.2±
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C.3-2
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D.3±
3.已知☉O:x+y=5与☉O1:(x-a)+y=r(a>0)相交于A、B两点,若两圆在A点处的切线互相垂直,且|AB|=4,则☉O1的方程为 ( ) A.(x-4)+y=20 C.(x-5)+y=20 【解题导思】 序号 1 2 3
联想解题
由两圆只有一条公切线联想到两圆相内切 由两圆关于x轴对称联想到圆心关于x轴对称 由两圆相交于A、B,且|AB|=4联想到相交弦的直线方程
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B.(x-4)+y=50
D.(x-5)+y=50
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【解析】1.选D.由题意可知,圆C1的圆心为(-2a,0),半径为2,圆C2的圆心为(0,b),半径为1,因为两圆只有一条公切线,所以两圆内切,所以
=2-1,即
2
4a+b=1.所以
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+=·(4a+b)=
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5++≥5+2=9,当且仅当=,且4a+b=1,即a=,b=时等号成立,
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所以+的最小值为9.
2
2
2.选C.圆M的方程为:(x-3)+(y+4)=1,过M(3,-4)且与直线y=x+2垂直的直线方程为y=-x-1,
代入(x-3)+(y+4)=1,得x=3±
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,故当Q到直线y=x+2的距离最小时,Q的横坐标为
x=3-.
,O1(a,0),半径为r,两圆在A点处的切线互相垂直,则由切
3.选C.依题意,得O(0,0),R=
线的性质定理知:两切线必过两圆的圆心,如图,
|OC|=
=1,OA⊥O1A,OO1⊥AB,
所以由直角三角形射影定理得: |OA|=|OC|×|OO1|,
即 5=1×|OO1|,所以|OO1|=5, r=|AO1|=由
=2
, =5,
2
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得a=5,所以,圆O1的方程为:(x-5)+y=20.
1.判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代数法.
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2.若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x,y项得到.
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3.两圆公共弦长,在其中一圆中,由弦心距d,半弦长,半径r所在线段构成直角三角形,利用勾股定理求解.
4.两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心.
已知两圆C1:x+y-2x-6y-1=0和C2:x+y-10x-12y+45=0. (1)求证:圆C1和圆C2相交.
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长. 【解析】(1)圆C1的圆心为C1(1,3),半径r1=两圆圆心距d=|C1C2|=5,r1+r2=所以|r1-r2| (2)圆C1和圆C2的方程左、右两边分别相减,得4x+3y-23=0,所以两圆的公共弦所在直线的方 +4,|r1-r2|=4-,圆C2的圆心为C2(5,6),半径r2=4, , 2 2 2 2 程为4x+3y-23=0.圆心C2(5,6)到直线4x+3y-23=0的距离为故公共弦长为2 =2 . =3, 考点三 直线与圆的综合问题 命 题 考什么:(1)直线与圆的位置关系;(2)直线与圆相切、相交问题;(3)圆的性质. 精 怎么考:以选择题和填空题为主,主要考查求切线方程、弦长问题. 解 读 学 霸 好 方 1.圆的切线方程常用结论 (1)判断:圆心到直线的距离等于圆的半径; (2)切线:已知圆的圆心C,半径为R. 过点P作圆C的切线. ①条数:若点P在圆内,则无切线; 4 法 若点P在圆上,则有且只有一条切线; 若点P在圆外,则有两条切线; ②长度:切线长等于 2.直线与圆的位置关系的常用结论 (1)当直线与圆相交时,由弦心距(圆心到直线的距离),弦长的一半及半径长所表示的线段构成一个直角三角形. (2)弦长公式|AB|== 圆的切线问题 【典例】1.已知圆的方程为x+y=1,则在y轴上截距为A.y=x+C.y=x+ B.y=-x+ 2 2 2 . |xA-xB| . 的切线方程为( ) 或y=-x+D.x=1或y=x+ 2 2.(2020·惠州模拟)过点A(3,4)作圆C:(x-2)+(y-3)=2的切线l,则切线l的方程为________________. 【解析】1.选C.在y轴上截距为 且斜率不存在的直线显然不是切线,故设切线方程为 y=kx+,则=1,所以k=±1,故所求切线方程为y=x+或y=-x+ 2 . 2.设切线l的方程为y=kx+b,点A(3,4)在切线l上,故4=3k+b.圆C:(x-2)+ (y-3)=2的圆心(2,3)到切线l的距离d=解得k=-1,故b=7,切线l的方程为x+y-7=0. 答案:x+y-7=0 求圆的切线方程时,应注意什么问题? 提示:应注意切线斜率不存在的情况. 2 =,可得=, 5
高考数学一轮复习几何直线与圆圆与圆的位置关系练习
