第4节 双曲线
课时作业
基础对点练(时间：30分钟)
x2y222
1．已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点与圆x＋y－10x＝0的圆心重合，且
ab双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为( )
(A)－＝1
520(C)－＝1 205
2
2
x2y2
(B)－＝1 2520(D)－＝1 2025
x2x2
y2y2
x2y2
A 解析：因为圆x＋y－10x＝0的圆心为(5，0)，所以c＝5，又双曲线的离心率等于5，所以a＝5，b＝25，故选A.
x2y2
2．已知F1，F2分别是双曲线E：2－2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过点F1且与xab轴垂直的直线与双曲线左支交于点M，N，已知△MF2N是等腰直角三角形，则双曲线的离心率是( )
(A)2 (C)1＋2
(B)2 (D)2＋2
b2222
C 解析：由已知得＝2c，即c－2ac－a＝0，所以e－2e－1＝0，解得e＝1±2，
a又e＞1，所以e＝1＋2，故选C.
x2y2
3．已知双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的焦距为10，点P(2，1)在C的一条渐近线
ab上，则C的方程为( )
(A)－＝1 205(C)－＝1 8020
x2x2
y2
(B)－＝1
520(D)－＝1 2080
2
2
x2y2
y2x2y2
a＋b＝25，??
A 解析：依题意?b
1＝×2，??a??a＝20，
解得?2
?b＝5，?
2
1
∴双曲线C的方程为－＝1.故选A.
205
x2y2
x2y2
4．已知双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的焦点为F1，F2，点P是双曲线C上的一点，
ab∠PF1F2＝15°，∠PF2F1＝105°，则该双曲线的离心率为( )
(A)6 (C)
2＋6
2
(B)3 (D)
6 2
D 解析：由正弦定理可得：
|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|＝sin 105°∶sin 15°∶sin 60° ＝(6＋2)∶(6－2)∶23
不妨设|PF1|＝(6＋2)m，|PF1|＝(6－2)m，|F1F2|＝23m(m＞0)， 结合双曲线的定义有：2a＝|PF1|－|PF2|＝22m，2c＝|F1F2|＝23m，
c2c6
双曲线的离心率为：e＝＝＝. a2a2
故选B.
x2y2
5．将双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点所组成的三角
ab形叫作双曲线的“黄金三角形”，则双曲线C：x－y＝4的“黄金三角形”的面积是( )
(A)2－1 (C)1
(B)22－2 (D)2
2
2
B 解析：∵双曲线C的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点的坐标分别是(22，0)、(2，1
0)、(0，2)，∴所求面积S＝×(22－2)×2＝22－2.故选B.
2
y2x2
6．(2018合肥三模)已知双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的上焦点为F，M是双曲线虚
ab→
轴的一个端点，过F，M的直线交双曲线的下支于A点．若M为AF的中点，且|AF|＝6，则双曲线C的方程为( )
(A)－＝1
28(C)y－＝1
4
2
y2x2
x2
(B)－＝1
82(D)－x＝1
4
y2x2y2
2
y2x2
C 解析：双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的上焦点为F，M是双曲线虚轴的一个端点，
ab→
过F，M的直线交双曲线的下支于A点，若M为AF的中点，且|AF|＝6，可得F(0，c)，M(b，0)则A(2b，－c)，
2
??c4b由题意可得?－＝1，解得a＝1，b＝2，
ab??c＝a＋b2
2
2
2
2
2
2
b2＋c2＝9
所以双曲线C的方程为y－＝1，故选C.
4
2
x2
x2y2
7．(2018益阳4月)设双曲线Γ：2－2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F(－c，0)，直线3xab－y＋3c＝0与双曲线Γ在第二象限交于点A，若|OA|＝|OF| (O为坐标原点)，则双曲线Γ的渐近线方程为( )
(A)y＝±(C)y＝±
10
x 26x 2
(B)y＝±(D)y＝±2x 25x 2
C 解析：由题意知，双曲线右焦点F′(c，0)，又|OA|＝|OF| ，所以|OA|＝|OF|＝|OF′|，则△AFF′为直角三角形，即FA⊥F′A，则|AF′|＝|FF′|－|AF′|＝
6c10
2
2
|3c＋3c|3＋1
2
＝
6c10
，|AF|＝
2c4c2c，由双曲线定义得2a＝|AF′|－|AF|＝，即a＝，则b＝101010
6
x.故选C. 2
c2－a2＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±
8．(2018抚顺模拟)已知焦点在x轴上的双曲线C的左焦点为F，右顶点为A，若线段
FA的垂直平分线与双曲线C没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是________．
解析：∵焦点在x轴上的双曲线C的左焦点为F，右顶点为A ∴F(－c，0)，A(a，0),
∵线段FA的垂直平分线与双曲线C没有公共点 ∴
a－c 2
＞－a
∴ e＝＜3 ∵ e∈(1，＋∞) ∴ 1＜e＜3 答案：1＜e＜3
cax2y21
9．若双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该
ab4
双曲线的离心率为________．
解析：双曲线的一条渐近线方程为bx－ay＝0，一个焦点坐标为(c，0)．根据题意：
3
|bc－a×0|1c22322
＝×2c，所以c＝2b，a＝c－b＝3b，所以e＝＝＝. 4a3b2＋a23
23
答案：
3
10．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦距是________．
73
解析：由a，b，c之间的关系确定c，再写出焦距2c.由双曲线的标准方程，知a＝7，
2
x2y2
b2＝3，所以c2＝a2＋b2＝10，所以c＝10，从而焦距2c＝210.
答案：210
能力提升练(时间：15分钟)
x2y223
11．(2018新乡三模)已知双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝，对称中
bb3
心为O，右焦点为F，点A是双曲线C的一条渐近线上位于第一象限内的点，∠AOF＝∠OAF，△OAF的面积为33，则双曲线C的方程为( )
(A)－＝1
3612(C)－＝1 124
x2x2
y2
(B)－y＝1
3(D)－＝1
93
x2
2
y2x2y2
D 解析：由题点A所在的渐近线为bx－ay＝0三个该渐近线的倾斜角为α，则tan αb2tan α2ab＝，∵∠AOF＝∠OAF，所以直线AF的倾斜角为2a，tan 2α＝＝22. 2a1－tanαa－b2ab12ab?2a2ab?则AF：y＝22(x－c)与bx－ay＝0联立解得A?，?，∴S△AOF＝×c×＝abc?a－b2c?c23
＝33.因为双曲线的离心率e＝，
3
2
a2＋b24b1
∴2＝，∴＝与ab＝33联立得a＝3，b＝3，
a3a3
故双曲线的方程为－＝1.
93故选C.
x2y2
x2y2
12．(2018烟台二模)已知双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，第一象限的
ab点M在双曲线C的渐近线上且|OM|＝a，若直线MF的斜率为－，则双曲线C的离心率为( )
(A)10 (C)2
(B)5 (D)17
ba 4
x2y2bC 解析：双曲线2－2＝1的渐近线方程为y＝±x，
aba??第一象限的点M在双曲线C的渐近线上，设M?x0，x0?，则kMF＝?
??∴x0＝，故而M?，?，
2?22a?
∴|OM|＝
2
ba?
bx0ax0－c＝－，
baccbcc2b2c222
＋2＝a，整理得c＝2a， 44a即e＝2，所以e＝2. 故选：C.
x2y2
13．(2018衡水中学)设双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左、右顶点分别是
abA1，A2，过F做A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则双曲线的渐近线的斜率
为( )
1(A)± 2(C)±1
2
(B)±
2 2
(D)2
2
2
b?b??b???C 解析：A1(－a，0)，B?c，?，A2(a，0)，C?c，－?，所以A1B＝?a＋c，?，A2C＝a?a??a???bb→→?c－a，－b?，根据AB⊥AC，所以A22
??121B·A2C＝0，代入后得c－a－2＝0，整理为2＝1，所
a?aa?
以该双曲线渐近线的斜率是k＝±＝±1，故选C.
14．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆：(x－2)＋y＝1都相切，则双曲线C的离心率是( )
(A)3或
6
2
(B)2或3 236(D)或
32
2
2
2
4
2
ba23(C)或2
3
C 解析：设双曲线的其中一条渐近线方程为kx－y＝0(k＞0)，因为直线kx－y＝0与3b3c－a圆(x－2)＋y＝1相切，则2＝1，解得k＝；当焦点在x轴上时，＝，2＝
3a3ak＋1
2
2
|2k|
22
123a3a1
，解得e＝；当焦点在y轴上时，＝，22＝，解得e＝2.故选C. 33b3c－a3
15．已知椭圆C1的方程为＋y＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，
4
2
x2
2
5
2020版高考数学一轮复习第八篇平面解析几何第4节双曲线课时作业(文)(含解析)新人教A版
