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第二节 不等式证明的基本方法
时间：45分钟 分值：75分
一、填空题(本大题共9小题，每小题5分，共45分)
1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则s与t的大小关系是________． 解析 s－t＝b2－2b＋1＝(b－1)2≥0. 答案 s≥t
2．设a＝2，b＝7－3，c＝6－2，则a，b，c间的大小关系是________．
444解析 由>>，得a>c>b.
2＋26＋27＋3答案 a>c>b
3．设a>b>0，m＝a－b，n＝a－b，则m与n的大小关系是________．
解析 ∵a>b>0，∴m＝a－b>0，n＝a－b>0. ∵m2－n2＝(a＋b－2ab)－(a－b)
＝2b－2ab＝2b(b－a)<0，∴m2 1 4．设x>0，则函数y＝3－3x－x的最大值是________． 1??1 ??3x＋解析 y＝3－3x－x＝3－x?≤ ?3－213x·x＝3－23，即ymax＝3－23. 答案 3－23 12 5．函数f(x)＝3x＋x2(x>0)的最小值为________． 匠心教育系列 1 匠心文档，专属精品。 123x3x12 解析 f(x)＝3x＋x2＝2＋2＋x2≥ 33x3x1232·2·x2＝9， 3x12 当且仅当2＝x2，即x＝2时等号成立． 答案 9 1111 6．记S＝210＋10＋10＋…＋11，则S与1的大小关 2＋12＋22－1系是________． 1111 解析 ∵10<210，10<210，…， 2＋12＋2111＝<， 211－1210＋210－1210 1111111 ∴S＝210＋10＋10＋…＋11<210＋210＋…＋210＝1. 2＋12＋22－1答案 S<1 111 7．已知a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝1，则a＋b＋c的最小值为________． 111 解析 把a＋b＋c＝1代入a＋b＋c a＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c得a＋b＋c bacacb＝3＋(a＋b)＋(a＋c)＋(b＋c) ≥3＋2＋2＋2＝9. 答案 9 8．若x＋y＋z＝1，则F＝2x2＋3y2＋z2的最小值为________． 解析 (2x2＋3y2＋z2)(3＋2＋6)≥(6x＋6y＋6z)2＝6，∴2x2＋ 匠心教育系列 2 匠心文档，专属精品。 6 3y＋z≥11. 2 2 6 答案 11 9．(2013·湖北卷)设x，y，z∈R，且满足：x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝14，则x＋y＋z＝________. 22222解析 根据柯西不等式(a1＋b21＋c1)(a2＋b2＋c2)≥(a1a2＋b1b2＋ c1c2)2得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2＝14.“＝”成立的条xyzxyz 件为1＝2＝3.又x＋2y＋3z＝14，令1＝2＝3＝t，则x＝t，y＝2t，z14314 ＝3t.由x＋2y＋3z＝t＋4t＋9t＝14，∴t＝14，故x＋y＋z＝6t＝7. 314 答案 7 二、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．已知函数f(x)＝log2(x＋m)，且f(0)，f(2)，f(6)成等差数列． (1)求f(30)的值； (2)若a，b，c是两两不相等的正数，且a，b，c成等比数列，试判断f(a)＋f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论． 解 (1)由f(0)，f(2)，f(6)成等差数列， 得2log2(2＋m)＝log2m＋log2(6＋m)， 即(m＋2)2＝m(m＋6)(m＞0)，∴m＝2. ∴f(30)＝log2(30＋2)＝5. (2)f(a)＋f(c)＝log2(a＋2)(c＋2)， 2f(b)＝log2(b＋2)2， ∵b2＝ac，∴(a＋2)(c＋2)－(b＋2)2＝2(a＋c)－4b. ∵a＋c＞2ac＝2b(a≠c)，∴2(a＋c)－4b＞0. 匠心教育系列 3 匠心文档，专属精品。 ∴log2(a＋2)(c＋2)＞log2(b＋2)2. 即f(a)＋f(c)＞2f(b)． 111 11．(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋xy≤x＋y＋xy； (2)设1 要证x＋y＋xy≤x＋y＋xy， 只需证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2. 因为[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1] ＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)] ＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1) ＝(xy－1)(xy－x－y＋1) ＝(xy－1)(x－1)(y－1)， 由条件x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0， 从而所要证明的不等式成立． (2)设logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得 111 logca＝xy，logba＝x，logcb＝y，logac＝xy. 于是，所要证明的不等式即为 111 x＋y＋xy≤x＋y＋xy， 由题意知x＝logab≥1，y＝logbc≥1. 故由(1)可知所要证明的不等式成立． 12．(2014·厦门二模)已知正数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝6. (1)求x＋2y＋z的最大值； (2)若不等式|a＋1|－2a≥x＋2y＋z对满足条件的x，y，z恒成立， 匠心教育系列 4 匠心文档，专属精品。 求实数a的取值范围． 解 (1)由柯西不等式(x2＋y2＋z2)(12＋22＋12)≥(x＋2y＋z)2，即有(x＋2y＋z)2≤36. 又x，y，z是正数，∴x＋2y＋z≤6， 即x＋2y＋z的最大值为6， xyz 当且仅当1＝2＝1，即当x＝z＝1，y＝2时取得最大值． (2)由题意及(1)得，|a＋1|－2a≥(x＋2y＋z)max＝6.解得a无解或7a≤－3， ??7? 综上，实数a的取值范围为?a?a≤－3?. ??? 匠心教育系列 5
【名师一号】高考数学(人教版a版)一轮配套题库：选4-5-2不等式证明的基本方法
