江西省上饶县中学2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（187）（无
答案）
第一试
一、填空题（每小题8分，共64分）
1. 若实数集合A??2x,3y?与B??6,xy?恰有一个公共元素，则AUB中的所有元素之积 为.
222. 已知关于x的方程x?4xlog2a?3(log2a)?0的两根分别属于区间(1,3)与(6,??).
则实数a的取值范围是.
i(??R).则f?3. 设复数z1?sin??2i,z2?1?cos?g13?z1?iz2z1?iz22的最小值 为.
?10k??10?k4. 若等比数列?an?中，a1?1,a3?3，则??C10ak?1???(?1)kC10ak?1?? .
?k?0??k?0?5. 设A为m元实数集，各元素之和为a；B为n元实数集，各元素之和为b.定义
C??xx?(s,t),s?A,t?B?.令x、y各自取遍C中向量（允许x?y）并计算xgy.则这些
数量积之和
x、y?C?xgy等于（结果用a、b、m、n表示）.
6. 已知双曲线以2x?y?0为渐近线，且经过直线x?y?3?0与2x?y?3t?0的交点，其中，?2?t?5.则双曲线的实轴长的最大可能值为.
7. 如图1，在中国象棋规则下，点A处的“兵”可通过某条路径到达点B（兵在过河前每步只能走到其前方相邻的交叉点处，过河之后每步则可走到前方、左方、右方相邻的交叉点处，但不能后退，“河”是指图1棋盘中第5、6条横线之间的部分）.在兵的行进过程中，若棋盘的每个交叉点均不被兵重复走到，是称此路径为“元重复路径”.那么，不同的无重复路径的条数为.
8. 在?ABC中，?A、?B、?C的对边分别为a、b、c， 且
a?5,b?4,cos(A?B)?
二、解答题（共56分）
31.则?ABC的面积为. 329.（16分）已知三棱锥P?ABC底面各棱长均为1、高为2，其内切球的球心为O，半径为r.求底面ABC内与点O距离不大于2r的点所形成的平面区域的面积.
10.（20分）一束直线l1,l2,L的每条均过xOy平面内的抛物线C:y?x的焦点，li(i?1)与抛物线C交于点Ai、Bi.若l1的斜率为1，li(i?2)的斜率为1?式.
11.（20分）求所有三次多项式P(x)，使得对一切x、y?0，均有P(x?y)=P(x)?P(y).
2Ai?1Bi?1?1，求l2014的解析
加 试
一、（40分）如图2，eO1与eO2的半径相等，交于X、Y两点.?ABC内接于eO1，且其垂心H在eO2上，点Z使得四边形CXZY为平行四边形.证明：AB、XY、HZ三线共点.
p?1二、（40分）求所有素数P，使得P2?kk?12p?1.
三、（50分）若函数f满足：对任意实数a，方程f(x)?a的解的个数为偶数（可以是0个，但不能是无数个），则称f为“偶的函数”.证明：
（1）任何多项式f均不是偶的函数；
（2）存在连续函数f:R?R是偶的函数.
四、(50分)求正整数n的最大值，使得对任意一个以V1,V2,L,Vn为顶点的n阶简单图，总能找到集合?1,2,L2014?的n个子集A1,A2,L,An，满足：AiIAj??(i?j)当且仅当Vi与Vj相邻.
江西省上饶县中学2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(187)（无答案）
