第一章 绪论
1 ?设x 0,x的相对误差为
，求In x的误差。
*
e* x* x =er x* x* 解：近似值x*的相对误差为
1
In x* In x e*
x*
而In x的误差为e In x*
进而有 (In x*)
2 .设x的相对误差为2%，
求xn的相对误差。
xf'(x) 解：设f(x) xn，则函数的条件数为 Cp | | f (x)
n 1
x nxn 1 n
| n
又Q f '(x) nx , Cp |
又Q r((x*) n) Cp r(x*) 且 er (x*)为 2
n
r((x*))
0.02 n
3 ?下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字： x； 解：x*
1.1021, x； 0.031 , x； 385.6, x； 56.430, x； 7 1.0.
1.1021是五位有效数字；
x2 x3
0.031是二位有效数字； 385.6是四位有效数字；
x； 56.430是五位有效数字； x； 7 1.0.是二位有效数字。
4 .利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限： 其中x*,x2,x3,x4均为第3题所给的数。 解:
(1) x： x2 x； ,(2) X
；；3,(3)2/；.
X
X
X
X
(X1)
1 2 10
*
1 ,亠 3
(X2) 2 10
*
1
1
(X3)
2 10 *
1 ,亠 3 (X4) 2 10
*
1
1
(X)
5210
(1) (x；
X* * *
X
2 4) (X*
1 )
(X2)
(X4)
1
10 4
1
2
10 3 2
1.05 10
3
(2) (x；x；x；)
XX* * * 12
(X3)
X* * *
2X3
X1X3 (x2)
1.1021 0.031 10 1
0.031 385.6 - 1 104
1.1021 385.6
0.215
X* I (X*
* * 2I
4)
X4
(X2
)
n
X4
0.031 1
2 10 3
3 56.430
1 3
56.430 56.430
2 10 3
10 5
5计算球体积要使相对误差限为
1，问度量半径R时允许的相对误差限是多少?
4 3
解：球体体积为V — R3
3
则何种函数的条件数为
C p啓
r
(V*) Cp9r(R*) 3 r(R*)
10
又 Q r(V*) 1%1
故度量半径R时允许的相对误差限为
A
?????）=存他=
.783 100
(n=1,2,…)
1 300
6 ?设 Yo 28，按递推公式 Yn Yi 1 计算到Y00。若取'「783 27.982 （5位有效数字） ，试问计算Y00将有多大误差?
1 _____
解：QYn Yn 1 ——冠100
1 ____ Y100
100
783 1；0五
A , _______
丫1
丫0 100'783
1 _____
依次代入后, 有 Y100 Y0
100
——100
,：783 即 Y100
Y) .783 ,
若取.783
27.982, Y°0 Y0 27.982
(Y00)
（丫0）
(27.982) 10 3
Y00的误差限为- 10 3。
2
7 .求方程X2
56x 1 0的两个根，使它至少具有 4位有效数字（.783
故方程的根应为
x-(,2 28 J783
故 x1 28 ,783 28 27.982 55.982
人具有5位有效数字
x2 28 、、783 —28 V783
—1.
28 27.982
55.982
0.017863
1 2
10 .设S -gt2
，假定g是准确的，而对t的测量有1 0.1秒的误差，证明1
当t增加时S的
27.982 ）。
X2具有5位有效数字
N 1
1
8 .当N充分大时，怎样求
N
1 x
2 dx ?
N 1
1
解
N
1 x1 2
2dx arctan(N 1) arctanN
设 arctan(N 1), arctanN。 则tan
N 1,ta n N.
1
1
1 x2
dx
arcta n(ta n( ))
1 tan gtan
tan tan arctan— 1 (N 1)N N 1 N arctan— arcta nr
N
9.正方形的边长大约为了
2
100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过2 解：正方形的面积函数为
A(x) x
(A*) 2A*g (x*).
当 x* 100时，若(A*)
1,
1 2 则(x*)
— 10 2 2
2
故测量中边长误差限不超过 0.005cm 时，才能使其面积误差不超过
1cm
2
绝对误差增加，而相对误差却减少。
& 1 2
解：QS gt ,t 0
2
(S*) gt2g (t*)
当t*增加时，S*的绝对误差增加
1cm
◎ S*
(S*)
gt2g (t*) 1 * 2 ^g(t) (t*)当t*增加时，(t*)保持不变，则 11 ?序列yn满足递推关系yn 若y0
S*的相对误差减少。
10yn 1
1 (n=1,2,…),
、2 1.41 (三位有效数字) ，计算到y10时误差有多大？这个计算过程稳定吗?
解：Q y0 2 1.41
(y°*) 1 10 2
2
又Q yn 10yn 1 1
yi 10 y。 1 (yi*)
10 (yo*)
又 Q y2 10 y1 1
(y2*) (y2*)
10 S) 10 (y°*)
2
1010 (y。*) (Y10*)
1010 1
1
2
102
108
2
计算到ye时误差为丄108，这个计算过程不稳定。
2
12 ?计算 f (、、2
1)6 ，取 2
，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好?
6 , (3 2'2)3,——1 - 3 , (? 2 1) 6 ， (3 2、2)
1
99 70&。
数值分析第五版答案(全)
