2019年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣5x﹣6＜0}，B＝{x|x＝3k+1，k∈Z}，则A∩B等于（ ） A．{2，3，4} 2．（5分）已知复数z＝A．2i
3．（5分）已知双曲线
B．﹣2i ﹣
B．{1，2，3}
C．{2，5}
D．{1，4}
2
是纯虚数，其中a是实数，则z等于（ ）
C．i
D．﹣i
，且两条渐近线互相垂直，
＝1（a＞0，b＞0）的焦距为4
则该双曲线的实轴长为（ ） A．2
B．4
C．6
D．8
4．（5分）已知变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x+2y的最小值为（ ）
A．﹣9
5．（5分）函数f（x）＝
B．﹣7 C．﹣5
的图象大致是（ ）
D．﹣3
A． B．
C． D．
6．（5分）如图所示的程序框图，若输出的S＝30，则输入的整数m值为（ ）
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A．7
B．8
C．9
D．10
7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．210
B．208
C．206
D．204
8．（5分）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子.19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对1+2+3+…+100的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数（fx）＝（m＞0），则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（m+2018）等于（ ） A．
B．
C．
D．
cosC，
9．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积S＝且a＝A．2
，b＝
，则c＝（ ）
B．
C．
D．
10．（5分）设函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则函数y
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＝f（x）+f（x+）的单调增区间为（ ）
A．[kπ﹣C．[kπ﹣
，kπ+，kπ+
]（k∈Z） ]（k∈Z）
B．[kπ﹣
，kπ+
]（k∈Z）
D．[kπ，kπ+]（k∈Z）
11．（5分）已知f（x）＝
则实数a的取值范围是（ ） A．（（
）
）
B．[
）
，若方程f（x）﹣2ax＝a﹣1有唯一解，
C．{﹣8}∪[） D．{﹣8}∪
12．（5分）已知椭圆E：+
＝1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，过F1作垂
直x轴的直线交椭圆E于A，B两点，点A在x轴上方．若|AB|＝3，△ABF2的内切圆的面积为
，则直线AF2的方程是（ ）
B．2x+3y﹣2＝0
C．4x+3y﹣4
D．3x+4y﹣3＝0
A．3x+2y﹣3＝0
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）已知两个单位向量 ，的夹角为60°，＝2﹣3，＝+t，若则实数t＝ ．
14．（5分）在4个不同的红球和3个不同的白球中，随机取3个球，则既有红球又有白球的概率为 ．
15．（5分）若曲线f（x）＝ae+e
x
﹣x
，
在点（0，f（0））处的切线与直线x+3y＝0垂直，则函
数f（x）的最小值为 ．
16．（5分）已知三棱锥D﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，若DC⊥平面ABC，∠ACB＝60°，AB＝3
，DC＝2
，则球O的表面积为 ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
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17．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝120，a2﹣a1，a4﹣a2，a1+a2成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式； （2）设Tn为数列{
}的前n项和，求满足Tn＞
的最小的n值．
18．（12分）某职业学校有2000名学生，校服务部为了解学生在校的月消费情况，随机调查了100名学生，并将统计结果绘成直方图如图所示． （1）试估计该校学生在校月消费的平均数；
（2）根据校服务部以往的经验，每个学生在校的月消费金额x（元）和服务部可获得利
润y（元），满足关系式：y＝，根据以上抽样调查数据，将频
率视为概率，回答下列问题：
（i）将校服务部从一个学生的月消费中，可获得的利润记为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
（ii）若校服务部计划每月预留月利润的，用于资助在校月消费低于400元的学生，估计受资助的学生每人每月可获得多少元？
19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别为A1C1，BC的中点，AB＝BC＝2，C1F⊥AB． （1）求证：AB⊥BC；
（2）若直线C1F和平面ACC1A所成角的正弦值等于
，求二面角A﹣BE﹣C的正弦值．
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20．（12分）已知抛物线C：y＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F，斜率为1的直线与抛物线C交于点A，B，且|AB|＝8． （1）求抛物线C的方程；
（2）过点Q（1，1）作直线交抛物线C于不同于R（1，2）的两点D、E，若直线DR，ER分别交直线l：y＝2x+2于M，N两点，求|MN|取最小值时直线DE的方程． 21．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣2lnx+2（1﹣a）+
（a＞0）．
2
（1）若f（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围； （2）证明：1+++……+
＞ln（2n+1）+
（n∈N*）．
选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
（α为参数），以
坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+
）＝2
．
（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标． [选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x+a|﹣|x﹣3|（a∈R）． （1）若a＝﹣1，求不等式f（x）+1＞0的解集；
（2）已知a＞0，若f（x）+3a＞2对于任意x∈R恒成立，求a的取值范围．
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2019年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学二模试卷(理科)
