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第6讲 双曲线
一、选择题
x2y2
1.(2017·郑州模拟)设双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( ) 1A.y＝±2x C.y＝±2x
2
B.y＝±2x D.y＝±2x
解析 因为2b＝2，所以b＝1，因为2c＝23，所以c＝3，所以a＝c2－b2b2
＝2，所以双曲线的渐近线方程为y＝±ax＝±2x，故选B. 答案 B
x2y25
2.(2015·广东卷)已知双曲线C：a2－b2＝1的离心率e＝4，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为( ) x2y2
A.4－3＝1 x2y2
C.16－9＝1
x2y2
B.9－16＝1 x2y2
D.3－4＝1
c5
解析 因为所求双曲线的右焦点为F2(5，0)且离心率为e＝a＝4，所以c＝5，
22xy
a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以所求双曲线方程为16－9＝1，故选C.
答案 C
x2y2
3.(2017·山西省四校联考)已知双曲线C：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)，右焦点F到渐近线的距离为2，点F到原点的距离为3，则双曲线C的离心率e为( ) 5A.3
35B.5
6C.3
6D.2
b
解析 ∵右焦点F到渐近线的距离为2，∴F(c，0)到y＝ax的距离为2，即|bc|bc222
＝2，又b＞0，c＞0，a＋b＝c，∴c＝b＝2，又∵点F到原点的距a2＋b2
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c335
离为3，∴c＝3，∴a＝c－b＝5，∴离心率e＝a＝＝5. 5
2
2
答案 B
4.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2＝( ) 1A.4
3B.5
3 C.4
4 D.5
解析 由x2－y2＝2，知a＝b＝2，c＝2. 由双曲线定义，|PF1|－|PF2|＝2a＝22， 又|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF1|＝42，|PF2|＝22，
在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得 |PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|23
cos ∠F1PF2＝＝4.
2|PF1|·|PF2|答案 C
y2
5.(2017·成都调研)过双曲线x－3＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲
2
线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝( ) 43A.3
B.23
2
C.6 D.43
y2
解析 由题意知，双曲线x－3＝1的渐近线方程为y＝±3x，将x＝c＝2代入得y＝±23，即A，B两点的坐标分别为(2，23)，(2，－23)，所以|AB|＝43. 答案 D 二、填空题
x2y26.(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线7－3＝1的焦距是________. 解析 由已知，得a2＝7，b2＝3，则c2＝7＋3＝10，故焦距为2c＝210. 答案 210
x2y27.(2016·北京卷)双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a
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＝________.
解析 取B为双曲线右焦点，如图所示.∵四边形OABC为正方形且边长为2，∴c＝|OB|＝22， π又∠AOB＝4， πb
∴a＝tan4＝1，即a＝b. 又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2. 答案 2
x2y2
8.(2016·山东卷)已知双曲线E：a2－b2＝1(a＞0，b＞0).若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________.
2b22b2
解析 由已知得|AB|＝a，|BC|＝2c，∴2×a＝3×2c.
?c?2?c?
又∵b＝c－a，整理得：2c－3ac－2a＝0，两边同除以a得2?a?－3?a?－2
????
2
2
2
2
2
2
＝0，即2e2－3e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去). 答案 2 三、解答题
9.(2017·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点P(4，－10). (1)求双曲线的方程；
→·MF→＝0.
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF12(1)解 ∵e＝2，
∴可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0).
∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线的方程为x2－y2＝6.
(2)证明 法一 由(1)可知，a＝b＝6， ∴c＝23，∴F1(－23，0)，F2(23，0)，
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2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用精练：第九章第6讲 双曲线
