[练案47]第六讲 空间向量及其运算
A组基础巩固
一、单选题
1.(2019·枣阳市第一中学月考)已知平面α,β的法向量分别为n1=(2,3,5),n2=(-3,1,-4),则( C )
A.α∥β
C.α,β相交但不垂直
B.α⊥β D.以上均不对
[解析] 因为n1≠λn2,且n1·n2=2×(-3)+3×1+5×(-4)=-23≠0,所以α,β不平行,也不垂直.故选C.
→→→
2.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC和BD的交点,若AB=a,AD=b,AA1=c,则下→
列式子中与B1M相等的是( C )
11
A.-a+b+c
2211
B.a+b-c 2211
C.-a+b-c
2211
D.-a-b+c
22
1→111→→→
[解析] B1M=B1B+BM=-c+BD=-c+(b-a)=-a+b-c.故选C.
2222
3.已知向量a=(2m+1,3,m-1),b=(2,m,-m),且a∥b,则实数m的值等于( B ) 3
A. 2C.0
B.-2 3
D.或-2 2
2m+1=2λ??
[解析] a∥b?a=λb?(2m+1,3,m-1)=(2λ,mλ,-mλ)??mλ=3
??-mλ=m-1=-2.故选B.
?m4.在空间直角坐标系中,已知A(1,-2,1),B(2,2,2),点P在z轴上,且满足|PA|=
|PB|,则P点坐标为( C )
A.(3,0,0) C.(0,0,3)
B.(0,3,0) D.(0,0,-3)
2
2
[解析] 设P点坐标为(0,0,a),则由题意知1+4+(1-a)=4+4+(2-a),解得a=3,∴P点坐标为(0,0,3),故选C.
5.已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若a⊥(a-λb),则实数λ的值为( D ) A.-2 14C.
5
14B.-
3D.2
[解析] a-λb=(-2+λ,1-2λ,3-λ),由a⊥(a-λb)知a·(a-λb)=-2(-2+λ)+(1-2λ)+3(3-λ)=0,∴λ=2,故选D.
→→
6.已知点A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量AB与AC的夹角为( C ) A.30° C.60°
B.45° D.90°
→→
[解析] 由已知得AB=(0,3,3),AC=(-1,1,0), →→AB·AC31→→
所以cosAB,AC===.
→→2|AB||AC|32×2→→
所以向量AB与AC的夹角为60°.故选C.
7.(2019·西安质检)已知空间四边形ABCD的每条棱和对角线的长都等于a,点E,F分→→
别是BC,AD的中点,则AE·AF的值为( C )
A.a 12
C.a 4
2
12
B.a 2D.
32a 4
→→1→→1→1→→→→122
[解析] AE·AF=(AB+AC)·AD=(AB·AD+AC·AD)=(acos 60°+acos 60°)=
224412
a.故选C. 4
π
8.(2019·河北模拟)如图所示,已知空间四边形OABC中,OB=OC,且∠AOB=∠AOC=,
3→→
则cosOA,BC的值为( A )
A.0 C.3 2
1B. 2D.
2 2
=a,cπ
=,且|b|=|c|,3
=0,故选A.
→→→
[解析] 设OA=a,OB=b,OC=c,由已知条件a,b11→→→→
OA·BC=a·(c-b)=a·c-a·b=|a||c|-|a||b|=0,所以cosOA,BC22
二、多选题
9.已知平面α内有一个点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,不在平面α内的是( ACD )
A.(1,-1,1) 3
C.(1,-3,)
2
3
B.(1,3,)
23
D.(-1,3,-)
2
→→
[解析] 对于选项A,PA=(1,0,1),则PA·n=(1,0,1)·(3,1,2)=5≠0;对于选项B,→
PA=(1,-4,),则PA·n=(1,-4,)·(3,1,2)=0,验证可知C、D均不满足PA·n=0.
故选A、C、D.
10.如图,一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1,其中,以顶点A为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60°,下列说法中正确的是( AB )
12
→
12
→
→→→2→2
A.(AA1+AB+AD)=2(AC) →→→
B.AC1·(AB-AD)=0
→→
C.向量B1C与AA1的夹角是60° D.BD1与AC所成角的余弦值为6 3
→→→2→2→2→2
[解析] 平行六面体的棱长均为a,则由题意知(AA1+AB+AD)=(AA1)+(AB)+(AD)+→→→→→→2
2AA1·AB+2A1A·AD+2AB·AD=6a,
→2→→2→2→→→22
2(AC)=2(AB+AD)=2((AB)+2AB·AD+(AD))=6a, →→→2→2
∴(AA1+AB+AD)=2(AC),A正确;
→→→→→→→→→→→→→2→2
∵AC1·(AB-AD)=(AA1+AB+AD)·(AB-AD)=AA1·AB-AA1·AD+(AB)-(AD)=0,B正确;
→→→∵B1C=AD-AA1, cos〈B1C,AA1〉=
→
→
1=-,
→→→2|AD-AA1|·|AA1|→
AD-AA1·AA1
→→
→→
∴B1C与AA1的夹角是120°,C错; →→→→→→→∵BD1=AA1+AD-AB,AC=AD+AB, 记BD1与AC所成角为θ,
→→→→→→→|BD1·AC|AA1·AD+AA1·AB+AD则cosθ==
→→→→→|BD1|·|AC|AA1+AD-AB2·
2
→
-AB2
→→AD+AB=
2
6
,D错;故选AB. 6
11.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值可以是( AC ) 1A.2,
21
C.-3,
2
[解析] ∵a∥b,∴b=ka, 即(6,2μ-1,2λ)=k(λ+1,0,2), 6=kλ+1,??
∴?2μ-1=0,??2λ=2k,
11
B.-,
32D.2,2
λ=2,??解得?1
μ=?2?
λ=-3,??
或?1
μ=,?2?
故选A、C.
12.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为A1D1的中点,Q为A1B1上任意一点,
E,F为CD上任意两点,且EF的长为定值,则下面的四个结论中正确的是( ACD )
A.点P到平面QEF的距离为定值 B.直线PQ与平面PEF所成的角为定值 C.二面角P-EF-Q的大小为定值 D.三棱锥P-QEF的体积为定值
[解析] 点P到平面QEF的距离为点P到平面DCB1A1的距离为定值,故A正确;又S△EFQ为定值,∴VP-QEF为定值,故D正确;又二面角P-EF-Q即为二面角P-DC-B1为定值,故C正确;PQ与平面PEF所成角,即PQ与平面PDC所成角,∵A1B1∥平面PDC,∴Q到平面PDC的距离为定值,而PQ不是定值,∴PQ与平面PEF所成角的正弦值不是定值,故B错.
三、填空题
→→→
13.(2019·竹溪县第二高级中学月考)如图,空间四边形OABC中,OA=a,OB=b,OC=
c,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC中点,则MN等于 -a+b+c .(用a,b,c表示)
→
231212
2211→→→1→→2→1
[解析] 因为MN=ON-OM=(OB+OC)-OA=(b+c)-a=-a+b+c.
2323322
→→
14.已知三点A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当QA·QB取得448最小值时,Q点的坐标为 (,,) .
333→→
[解析] 设Q(x,y,z),由点Q在直线OP上可得存在实数λ使得OQ=λOP,则有Q(λ,
λ,2λ),QA=(1-λ,2-λ,3-2λ),QB=(2-λ,1-λ,2-2λ).QA·QB=(1-λ)(2
-λ)+(2-λ)·(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=2(3λ-8λ+5),根据二次函数的性质可得4448
当λ=时,取得最小值,此时Q(,,).
3333
四、解答题
15.(2019·太原模拟)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1,底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.
2
→→→→
(山东专用)2021版高考数学一轮复习练案(47)第七章立体几何第六讲空间向量及其运算(含解析)
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