[练案47]第六讲 空间向量及其运算
A组基础巩固
一、单选题
1．(2019·枣阳市第一中学月考)已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2,3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则( C )
A．α∥β
C．α，β相交但不垂直
B．α⊥β D．以上均不对
[解析] 因为n1≠λn2，且n1·n2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝－23≠0，所以α，β不平行，也不垂直．故选C.
→→→
2．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则下→
列式子中与B1M相等的是( C )
11
A．－a＋b＋c
2211
B.a＋b－c 2211
C．－a＋b－c
2211
D．－a－b＋c
22
1→111→→→
[解析] B1M＝B1B＋BM＝－c＋BD＝－c＋(b－a)＝－a＋b－c.故选C.
2222
3．已知向量a＝(2m＋1,3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，则实数m的值等于( B ) 3
A． 2C．0
B．－2 3
D．或－2 2
2m＋1＝2λ??
[解析] a∥b?a＝λb?(2m＋1,3，m－1)＝(2λ，mλ，－mλ)??mλ＝3
??－mλ＝m－1＝－2.故选B.
?m4．在空间直角坐标系中，已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且满足|PA|＝
|PB|，则P点坐标为( C )
A．(3,0,0) C．(0,0,3)
B．(0,3,0) D．(0,0，－3)
2
2
[解析] 设P点坐标为(0,0，a)，则由题意知1＋4＋(1－a)＝4＋4＋(2－a)，解得a＝3，∴P点坐标为(0,0,3)，故选C.
5．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为( D ) A．－2 14C．
5
14B．－
3D．2
[解析] a－λb＝(－2＋λ，1－2λ，3－λ)，由a⊥(a－λb)知a·(a－λb)＝－2(－2＋λ)＋(1－2λ)＋3(3－λ)＝0，∴λ＝2，故选D.
→→
6．已知点A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量AB与AC的夹角为( C ) A．30° C．60°
B．45° D．90°
→→
[解析] 由已知得AB＝(0,3,3)，AC＝(－1,1,0)， →→AB·AC31→→
所以cosAB，AC＝＝＝.
→→2|AB||AC|32×2→→
所以向量AB与AC的夹角为60°.故选C.
7．(2019·西安质检)已知空间四边形ABCD的每条棱和对角线的长都等于a，点E，F分→→
别是BC，AD的中点，则AE·AF的值为( C )
A．a 12
C．a 4
2
12
B．a 2D．
32a 4
→→1→→1→1→→→→122
[解析] AE·AF＝(AB＋AC)·AD＝(AB·AD＋AC·AD)＝(acos 60°＋acos 60°)＝
224412
a.故选C. 4
π
8．(2019·河北模拟)如图所示，已知空间四边形OABC中，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，
3→→
则cosOA，BC的值为( A )
A．0 C.3 2
1B． 2D．
2 2
＝a，cπ
＝，且|b|＝|c|，3
＝0，故选A.
→→→
[解析] 设OA＝a，OB＝b，OC＝c，由已知条件a，b11→→→→
OA·BC＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝|a||c|－|a||b|＝0，所以cosOA，BC22
二、多选题
9．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，不在平面α内的是( ACD )
A．(1，－1,1) 3
C．(1，－3，)
2
3
B．(1,3，)
23
D．(－1,3，－)
2
→→
[解析] 对于选项A，PA＝(1,0,1)，则PA·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0；对于选项B，→
PA＝(1，－4，)，则PA·n＝(1，－4，)·(3,1,2)＝0，验证可知C、D均不满足PA·n＝0.
故选A、C、D.
10．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD－A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是( AB )
12
→
12
→
→→→2→2
A．(AA1＋AB＋AD)＝2(AC) →→→
B.AC1·(AB－AD)＝0
→→
C．向量B1C与AA1的夹角是60° D．BD1与AC所成角的余弦值为6 3
→→→2→2→2→2
[解析] 平行六面体的棱长均为a，则由题意知(AA1＋AB＋AD)＝(AA1)＋(AB)＋(AD)＋→→→→→→2
2AA1·AB＋2A1A·AD＋2AB·AD＝6a，
→2→→2→2→→→22
2(AC)＝2(AB＋AD)＝2((AB)＋2AB·AD＋(AD))＝6a， →→→2→2
∴(AA1＋AB＋AD)＝2(AC)，A正确；
→→→→→→→→→→→→→2→2
∵AC1·(AB－AD)＝(AA1＋AB＋AD)·(AB－AD)＝AA1·AB－AA1·AD＋(AB)－(AD)＝0，B正确；
→→→∵B1C＝AD－AA1， cos〈B1C，AA1〉＝
→
→
1＝－，
→→→2|AD－AA1|·|AA1|→
AD－AA1·AA1
→→
→→
∴B1C与AA1的夹角是120°，C错； →→→→→→→∵BD1＝AA1＋AD－AB，AC＝AD＋AB， 记BD1与AC所成角为θ，
→→→→→→→|BD1·AC|AA1·AD＋AA1·AB＋AD则cosθ＝＝
→→→→→|BD1|·|AC|AA1＋AD－AB2·
2
→
－AB2
→→AD＋AB＝
2
6
，D错；故选AB. 6
11．已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是( AC ) 1A．2，
21
C．－3，
2
[解析] ∵a∥b，∴b＝ka， 即(6,2μ－1,2λ)＝k(λ＋1,0,2)， 6＝kλ＋1，??
∴?2μ－1＝0，??2λ＝2k，
11
B．－，
32D．2,2
λ＝2，??解得?1
μ＝?2?
λ＝－3，??
或?1
μ＝，?2?
故选A、C.
12．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，
E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值，则下面的四个结论中正确的是( ACD )
A．点P到平面QEF的距离为定值 B．直线PQ与平面PEF所成的角为定值 C．二面角P－EF－Q的大小为定值 D．三棱锥P－QEF的体积为定值
[解析] 点P到平面QEF的距离为点P到平面DCB1A1的距离为定值，故A正确；又S△EFQ为定值，∴VP－QEF为定值，故D正确；又二面角P－EF－Q即为二面角P－DC－B1为定值，故C正确；PQ与平面PEF所成角，即PQ与平面PDC所成角，∵A1B1∥平面PDC，∴Q到平面PDC的距离为定值，而PQ不是定值，∴PQ与平面PEF所成角的正弦值不是定值，故B错．
三、填空题
→→→
13．(2019·竹溪县第二高级中学月考)如图，空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝
c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则MN等于 －a＋b＋c .(用a，b，c表示)
→
231212
2211→→→1→→2→1
[解析] 因为MN＝ON－OM＝(OB＋OC)－OA＝(b＋c)－a＝－a＋b＋c.
2323322
→→
14．已知三点A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当QA·QB取得448最小值时，Q点的坐标为 (，，) .
333→→
[解析] 设Q(x，y，z)，由点Q在直线OP上可得存在实数λ使得OQ＝λOP，则有Q(λ，
λ，2λ)，QA＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB＝(2－λ，1－λ，2－2λ).QA·QB＝(1－λ)(2
－λ)＋(2－λ)·(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝2(3λ－8λ＋5)，根据二次函数的性质可得4448
当λ＝时，取得最小值，此时Q(，，)．
3333
四、解答题
15．(2019·太原模拟)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．
2
→→→→
(山东专用)2021版高考数学一轮复习练案(47)第七章立体几何第六讲空间向量及其运算(含解析)
