教材习题同步解析
习题3-1
??5??1.验证罗尔定理对函数y?lnsinx在区间?,?上的正确性.
?66???5????5??证 y?lnsinx在?,?上连续，在?,?内可导，且
?66??66??5?????5??y???y??.故函数y?lnsinx在区间[,]上满足罗尔定理的
66?6??6?条件.
?又解y??cotx?0得x?n??(n?0,?1,?2,?),取n?0，确实
2存在?????5????,?使得y?(?)?cot??0.因此罗尔定理对函数2?66??5?]上正确. 66注意 凡是验证定理正确与否的命题,一定要验证两点(1)定理的条件是否满足;(2)若条件满足,求出定理结论中的?值.
5.不求函数f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)的导数，说明方程f?(x)?0有几个实根，并指出它们所在的区间.
解 函数f(x)分别在区间[1,2],[2,3],[3,4]上连续，在区间(1,2), (2,3),(3,4)内可导，且f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?0.
y?lnsinx在区间[,由罗尔定理知，至少存在?1?(1,2),?2?(2,3),?3?(3,4),使
f?(?i)?0 (i?1,2,3).即方程f?(x)?0至少有三个实根.又因f?(x)?0为三次方程，故它至多有三个实根. 因此，方程f?(x)?0有且只有三个实根，分别位于区间(1,2),(2,3),(3,4)内.
6.证明恒等式: arcsinx?arccosx?
136
?2,(?1?x?1).
证 设f(x)?arcsinx?arccosx，则
?1????1?x2?1?x2于是f(x)?c,x?[?1,1]. 其中c为常数.
f?(x)?1因为f(0)?arcsin0?arccos0????0,?1?x?1. ???2,故
arcsinx?arccosx??2,(?1?x?1).
7.若方程a0xn?a1xn?1???an?1x?0有一个正根x?x0,证明方程 a0nxn?1?a1(n?1)xn?2???an?1?0必有一个小于x0的正根.
证 设f(x)?a0xn?a1xn?1???an?1x,可见f(0)?0,又依题意,有f(x0)?0.并注意到f?(x)?a0nxn?1?a1(n?1)xn?2???an?1,于是f(x)在[0,x0]上满足罗尔定理条件,故存在??(0,x0),使得f?(?)?0,即a0nxn?1?a1(n?1)xn?2???an?1?0有小于x0的正根.
8.若函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数，且f(x1)?f(x2)?f(x3)，其中a?x1?x2?x3?b，证明：在(x1,x3)内至少存在一点?，使得f??(?)?0.
证 由于f(x)在[x1,x2]上连续，在(x1,x2)内可导，且f(x1)?f(x2)，根据罗尔定理，至少存在一点?1?(x1,x2)，使得f?(?1)?0.同理可证至少存在一点?2?(x2,x3)，使得f?(?2)?0.
又因为f(x)在(a,b)内二阶可导，所以函数f?(x)在[?1,?2]上连
续，在(?1,?2)内可导，且f?(?1)?f?(?2)?0.再次应用罗尔定理知：至少存在一点??(?1,?2)?(x1,x3)，使得f??(?)?0.
10. 设a?b?0,证明：分析 由于lna?baa?b?ln?. abba?lna?lnb,所以可以构造函数f(x)?lnx,然 b后应用中值定理证明.
136
证 设f(x)?lnx,由于f(x)在[b,a]上满足拉格朗日中值定理条件,故存在??(b,a),使得
af(a)?f(b)b?f?(?)?1. ?a?ba?b?ln由于0?b???a,所以
ln111??,于是 a?ba1b?1, 即a?b?lna?a?b (a?b?0). ?aa?bbabb11.证明下列不等式：
（1）arctana?arctanb?a?b；
（2）当x?1时,ex?ex. 证 (1)当a?b时，显然成立. 当a?b时，令f(x)?arctanx,则f(x)在[a,b]或[b,a]上满足拉格朗日中值定理条件,故存在??(a,b)或??(b,a)使得
f(a)?f(b)?f?(?)(a?b).
a?b，所以 21??|a?b| |arctana?arctanb|??|a?b|. 21??即 arctana?arctanb?(2)设f(t)?et.当x?1时, f(t)在[1,x]上满足拉格朗日中值定理条件,故存在??(1,x),使得
f(x)?f(1)?f?(?)(x?1). 即ex?e?e?(x?1)?e(x?1).即ex?ex.
注意 （2）也可以利用本章第四节函数的单调性证明.
12. 证明方程x5?x?1?0只有一个正根.
5证 设f(x)?x?x?1. 先证根的存在性.
136
高等数学同济第七版第3章习题解答
