浅析Vandermonde行列式的相关性质及其应
第一章第二章2.1 2.2 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 第三章3.1 Vandermonde3.2 Vandermonde3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.3 Vandermonde3.4 Vandermonde第四章第五章用毕业论文
目 录
引言 ………………………………………………1 预备知识……………………………………………2 定义 ………………………………………………2 行列式的性质 ……………………………………2 行列式计算中的几种基本方法……………………3 三角形法……………………………………………3 加边法或升级法……………………………………4 递推法或数学归纳法………………………………5 行列式的一种特殊类型Vandermonde行列式……6 行列式的证法 ………………………6 行列式的性质 ………………………7 推广的性质定理[7]：行列式 ………………………7 一个Vandermonde行列式为0的充分必要条件…9 Vandermonde行列式的偏导数[8]……………………9 行列式的翻转与变形 ………………11 行列式的应用 ………………………12 小结 …………………………………………………17 参考文献 ……………………………………………18
第六章 谢 辞 ………………………………………………19
引 言
在中学数学和解析几何里，我们学习过两个未知量和三个未知量的线性方程组及其解法。但是在数学研究和实际问题的解决过程中，经常会遇到由多个未知量而组成的多个方程组，并且未知量的个数和方程组的个数也未必相等。为了解决这些具体的问题，经过一代代数学家的不懈努力，终于由莱布尼茨和日本数学家关孝和分别发明了行列式。经过一段时间的发展，法国数学家德蒙 (A-T.Vandermonde,1735-1796) 对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离。后来又经过许多大数学家的不断发展完善，如柯西、詹姆士·西尔维斯特 (J.Sylvester,1814-1894)、雅可比 (J.Jacobi,1804-1851)等人都对行列式的进步起到了巨大的推动作用[1]。美国当代数学家Bernard Kolman对行列式又做了进一步的解析与应用[2]。数学家Chongying Dong,Fu-an Li等人在Vandermonde 行列式方面的最新研究也被收录到Recent Developments in Algebra and Related Areas一书中[3]。
本文通过在行列式基本性质了解的基础上，进一步探讨一种特殊的行列式——Vandermonde行列式的相关性质及其应用。
.专业.专注.
2 预备知识
为了深入学习Vandermonde行列式的性质及其应用，我们有必
要回顾一下行列式的相关知识。
2.1 定义1
行列式是由n2个元素（数）?ij(i,j=1,2,…,n)排成n行n列并写成
(1)
的形式，它表示所有符合以下条件的项的代数和：
① 每项是n个元素的乘积，这n个元素是从(1)中每行取一个元素、每列取一个元素组成的，可记a1p1a2p2?anpn为,式中p1,p2,?,pn是1,2,…,n的一个排列。
②每项a1p1a2p2?anpn应带正号或负号，以1,2,…,n的顺序为标准来比较排列(p1,p2,?,pn)的逆序数是偶或奇而决定。例如三阶行列式中的项?12?23?31排列(231)有2个逆序，即2在1之前，3在1之前,所以?12?23?31应带正号；而
?12?21?33中(213)的逆序为1，因为这时只有2在1之前，所以应带负号。 2.2 行列式的性质[4]
.专业.专注.
性质1 行列式与它的转置行列式相等。
性质2 交换行列式的两行（列），行列式改变符号。
性质3 如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式等于0。 性质4 把一个行列式的某一行(列)的所有元素同乘以某一个数k,等于以数k乘这个行列式。
性质5 一个行列式中一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边。
性质6 如果一个行列式中有一行（列）的元素全部是0，那么这个行列式等于0。
性质7 如果一个行列式有两行（列）的对应元素成比例，那么这个行列式等于0。
性质8 设行列式D的第i行元素都可以表示成
D?a11a12...a1nbi1?ci1bi2?ci2..bin?cin...an1...an2.........ann,
那么D等于两个行列式D1与D2的和，其中D1的第i行元素是bi1,bi2,...bin，D2的第i行元素是ci1,ci2,...cin，而D1与D2的其他各行都和D的一样。同样的性质对于列来说也成立。
性质9 把行列式的某一行(列)的元素乘以同一个数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式不变。
2.3 行列式计算中的几种基本方法
.专业.专注.
2.3.1 三角形法
就是利用行列式的性质，将给定的行列式化为上三角形或下三角形行
列式，而上（下）三角形行列式的值即为其主对角线上所有元素的乘积。 例1 计算n级行列式
xaDn?aaxaa...aa...ax...a................aaa...x.
分析 该行列式具有各行（列）元素之和相等的特点.可将第2,3,?,n列（行）都加到第一列（行）（或第1，则第1（或n），2，?，n?1列（行）加到第n列(行)）列（行）的元素相等，再进一步化简即可化为三角形行列式或次三角行列式. 解
x?(n?1)a...aax?(n?1)ax...a...x?(n?1)a.........a...xx?(n?1)a?a...x?a...x?aa?[x?(n?1)a](x?a)n?1
Dn?
2.3.2 加边法或升级法
例2 计算n级行列式
a1bba2Dn?bb......bbbba3...b...b...b...b.........an
(b?ai,i?1,2,...,n)
分析 该行列式的各行（列）含有共同的元素b,b,?,b可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列（称为升级发或加边法），适当选择所增加行（或
.专业.专注.
浅析Vandermonde行列式的相关性质及其应用毕业论文
