(完整版)浙江大学浙大卢兴江版微积分答案第七章

7 级数

习题7.1

1（1）

1骣11111112341-，，， （2）,,, （3）琪 （4） 琪22n+1315356323579桫q(1-qn)ln3ln3n(q=)，收敛，2．（1）Sn= （2）Sn=，收敛，1

1-q22-ln3n+1 （3）Sn=1骣11111琪1-，收敛， （4）；收敛； S=ln+ln(1+)ln琪n5桫5n+152n2骣（5）Sn=-琪1-琪桫p1，收敛，—1 （6）Sn=arctan(n+1)-arctan1，收敛，.

4n+1￥-13. （1）级数为 2+?，和为1 （2）级数为

n(n-1)n=22，和为1. ?nn=13￥4. （1）发散 （2）发散 （3）发散 （4）发散 （5）收敛 5. （1）发散 （2）发散 （3）发散 （4）发散 （5）发散 （6）发散 （7）收敛，

3 （8）收敛，1-2. 26. （1）提示：利用级数收敛的定义及“若

n（2）例如un=(-1),n=1,2,L

?￥n=1un收敛，则必有un0(n)”之结论

（3）提示：利用

?￥k=1(u2k-1+u2k)与?un的部分和之间的关系

n=1￥e??17.

2(e??1) 习题7.2

1.（1）发散 （2）收敛 （3）发散 （4）收敛 （5）收敛 （6）收敛 （7）发散 （8）收敛 2.（1）提示：用比较判别法 （2）提示：u2nD2n2n2n2<<=

a1+a2+L+a2nan+1+L+a2nnanan（3）提示：用比较判别法的极限形式

3.（1）收敛 （2）收敛 （3）收敛 （4）发散 （5）收敛 （6）当p>1时收敛；当p￡1时发散.

4.（1）收敛 （2）收敛 （3）发散 （4）收敛 （5）发散 （6）收敛 （7）收敛 （8）收敛

（9）当01时发散； 当a=1时：s>1收敛，s￡1发散 （10）收敛.

5.（1）p>0时收敛，p￡0时发散 （2）当011时收敛，当a￡时发散 22（5）当p>2时收敛，p￡2时发散 （6）当a<1时收敛，当01时收敛；当p=1时：q>1收敛，q￡1发散；当p<1时发散 （8）当a>1时收敛，当a￡1时发散 （9）p>0时收敛，p￡0时发散

6.（3）提示：

ununun1骣1< 7.（4）提示：，再利用（3） 琪?u琪2pn2nnp2桫nn+an2n+18. 提示：

蝌+?n+1f(x)dx=f(x)dx+?n+2f(x)dx+L，再利用f(x)的单调、正值性质。

n+3 习题7.3

1.（1）发散 （2）发散 （3）绝对收敛 （4）绝对收敛 （5）绝对收敛 （6）发散 （7）条件收敛 （8）绝对收敛 （9）条件收敛 （10）条件收敛 2. 收敛（提示：利用Dirichlet判别法）

sinnxsin2(nx)?3.（1）提示：

nn1cos2nx-

2n2nsin(nx)sin2(nx)sin(nx),bn=+4．不能，例如 an= 5.绝对收敛

nnn6.提示：利用Abel判别法. 7. 提示：

?nk=1k(ak-ak-1)=-(a0+a1+L+an-1)+nan

习题7.4

1.（1）-2,4 （2）ê-[)轹11,÷÷ （3）(-1,1) （4）(-2,1] （5）[-1,1] （6）(-1,2) ê33滕 （7）当p>1时，-1,1；当0

[][)()骣22骣11-, （9）-2,2 （10）琪（8）琪 -,琪琪桫ee桫22()2.（1）

1x(1+x)11-x,x?(1,1),x<1 （2） （3）-x+ln,x?(1,1)

(1-x)2(1-x)321+x（4）x+ln(1-x)-xln(1-x),x<1 （5）

11+x1ln+arctanx,x?(1,1) 41-x2（6）

1+x,x<1

(1-x)223x2233. (2-x)+ ,x<34-23x4.（1）4 （2）-34pp-ln. +ln2 （3）ln2 （4）932-2,2，和函数S(x)为：S(?1)5.收敛域为轾犏臌2-x2S(x)=1+2ln(2-x2),x<2,x贡0,1.

x-10,S(0)=1-2ln，

习题7.5

￥(-1)n-1g1(2n-3)!!nx,x?1. 1+x=1+x+?n22gn!n=2[1,1]

nxn-12. f(x)=邋,0

2nx2n-11￥n(2x),x<+? （2）1+?(-1)3.（1）?,2n=1(2n)!n=1(2n-1)!（3）

(-1)邋n=1ゥn-1x2n-1x2n-2n+1cosa+(-1)sina,x<+?

(2n-1)!(2n-2)!n=1xn,x?（4）ln10-?10nn=1ng￥[(-1)n-1n+1x,x?10,10) （5）x+?n=1n(n+1)￥(1,1]

（6）

?￥(-1)n+1x2n-2n=1,x<1 （7）x+?(-1)nn=1￥(2n-1)!!x2n+1,x?(2n)!!(2n+1)[1,1]

￥x2n+1x2n-1,x<1 （9）?,x?（8）?(-1)2n+12n-1n=0n=1￥n(1,1)

（10）

?(-1)n=2￥￥n-1轾11犏-x2n-1,x<+? 犏(2n-2)!(2n-1)!臌￥骣骣311n2n琪-x,x<2(-1)-(x-5)n,x-5<2. 4.（1）?琪 （2）?琪n琪n+1nn+12323n=1桫n=0桫￥(x+1)2n(x-3)n-1g,x-3<3 （2）-?,x+1<1

3nnn=15.（1）

?(-1)n=1￥￥n-1轾n1(-1)-n（3）?犏2n=1犏臌6. ln2+(x+2),x+2<1

n?￥(-1)n-1n=1(x-2)n16!g,x-2<2 7. -ng2n2! 习题7.6

1.（1）0.309017054 （2）0.223137 2.（1）

31 （2）a=4,b=1 1201tdt1?0.1317 3.（1）2.8354 （2）作积分变换x=，原积分变为ò0231+tt￥4.（1）

?(-1)n-1n=1￥(-1)n-1骣x2n-1n+C （2）琪x+C ?2琪(2n-1)g(2n-1)!nn=1桫￥x4n+1x2n-1n-1（3）?(-1) （4）?(-1)

(4n+1)g(2n)!n!(2n-1)n=0n=1￥n5. 1.9744

6.（1）2.00039 （2）1.09864 （3）0.48723 （4）0.921996

习题7.7*

骣11.（1）琪琪,e （2）(-1,1) （3）(-?,1)?(1,?e桫 （5）0,+?纟1?-?, （4）ú ?)ú2棼(1,) （6）(2kp,(2k+1)p),k=0,北2,L （7）对\x?0皆发散

轾1犏lnì?1+x,x?0e+1 2.（1）和函数S(x)=í （2）N=犏2犏ln(1+x)?? 0, x=0犏犏臌2（3）在0,1上不一致收敛，在犏,1上一致收敛

3. 一致收敛 4.（1）不一致收敛 （2）一致收敛.

5.（1）一致收敛 （2）一致收敛 （3）一致收敛 （4）一致收敛 （5）一致收敛 6.（1）一致收敛 （2）一致收敛

7.（1）一致收敛 （2）一致收敛 （3）一致收敛 （4）一致收敛 （5）（i）一致收敛 （ii）不一致收敛 8. 提示：利用Cauchy准则 9.（1）limn[]轾1犏2臌pf(x)dx=,蝌0n4110n limfn(x)dx=0

11nn（2）提示：先证若{fn(x)}在0,1上一致收敛，则有limx[]f(x)dx=0( limfn(x) )dx 蝌0n10．（1）{fn(x)}收敛于f(x)=e （2）利用一致收敛定义； （3）利用第9题（2）中提示的结论，2e-3 11. 提示：利用定理7.7.13

习题7.8

p+24￥1-?cos(2k+1)x,\x??,f(x2p)=f(x) 1.（1）f(x)=2pk=1(2k+1)2p(b-a)￥轾b-a(-1)n-1n+?犏2((-1)-1)cosnx+(b+a)sinnx=S(x)= （2）f(x)~犏4npnn=1臌ìf(x),x?(p,p)?,S(x+2p)=S(x),x??. íp(b-a),x=?p??22pe2p-e-2p￥-e-2pne+?(-1)g2(2cosnx-nsinnx) （3）f(x)~4pn+4n=1?f(x),x?(??,?)?@S(x)??e2??e?2?,x?????2,S(x?2?)?S(x),?x??