2020届云南师大附中高三适应性月考（一）数学（理）试题
一、单选题
1．阿波罗尼斯（约公元前262?190年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k?k?0,k?1?的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内
两定点A、B间的距离为2，动点P满足
PAPB?2， 则PA2?PB2的最小值为（ ）
C．362
D．242 A．36?242 【答案】A
B．48?242 【解析】以经过A、B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线y轴，建立直角坐标系，得出点A、B的坐标，设点P?x,y?，利用两点间的距离公式结合条件
PAPB?2得出点P的轨迹方程，然后利用坐标法计算出PA2?PB2的表达式，再利用数形结合思想可求出PA2?PB2的最小值. 【详解】
以经过A、B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线y轴，建立直角坐标系，
,?，设P?x,y?，Q则A??1,0?、B?10PAPB?2，?2(x?1)2?y2(x?1)?y22?2，
两边平方并整理得x2?y2?6x?1?0??x?3??y2?8， 所以P点的轨迹是以?3,0?为圆心，22为半径的圆， 则有PA?PB?2x?y22?22??2?2OP2?2，如下图所示：
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当点P为圆与x轴的交点（靠近原点）时，此时，OP取最小值，且OP?3?22， 因此，PA2?PB2?2?3?22【点睛】
本题考查动点的轨迹方程的求法，考查坐标法的应用，解题的关键就是利用数形结合思想，将代数式转化为距离求解，考查数形结合思想的应用以及运算求解能力，属于中等题.
2．函数g(x)的图象如图所示，则方程g(g(x3))?0的实数根个数为（ ）
??2?2?36?242，故选：A.
A．3 【答案】C
B．6 C．9 D．12
【解析】令t?x3，u?g(t)，先由图象知方程g(u)?0有三个根，再根据u的值确定t个数，最后根据t的值与个数确定结果. 【详解】
3u?g(t)，)?0，令t?x3，则由g(g(x))?0，有g(u由图象知有三个根u1?(?3,0)，
u2?0，u3?(0,3)，分别令u1?g(t)，u2?g(t)，u3?g(t)，由图象知有9个不同
的t符合方程，而t?x3为单调递增函数，所以相应x的根的个数为9个，故选C. 【点睛】
本题主要考查方程的根与函数图象的关系以及数形结合思想的应用，合理换元，逐层分析方程的根的情况是解决本题的关键.
3．四边形ABDC是菱形，?BAC?60，AB?3，沿对角线BC翻折后，二面角
1A?BC?D的余弦值为?，则三棱锥D?ABC的外接球的体积为（ ）
3A．5?
B．6?
C．7?
D．22?
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【答案】B
【解析】取BC的中点为M，设球心O在平面ABC内的射影为O1 ，在平面BCD内的射影为O2，利用二面角的定义得出cos?AMD??1，并设?AMD?2?，计算出3tan?的值，可得出OO2的长度和DO2的长度，然后利用勾股定理得出三棱锥
D?ABC外接球的半径R，最后利用球体体积公式可计算出结果.
【详解】
如下图所示，取BC的中点为M，设球心O在平面ABC内的射影为O1 ，在平面BCD内的射影为O2，则二面角A?BC?D的平面角为∠AMD，AB?3，
321，DO2?DM?1，O2M?，设?AMD?2?， 232112222则cos2??2cos??1??，?cos??，则sin??，?tan2??2，
333所以DM??tan??2，?OO2?O2M?tan??2， 224?6?622 V?????6?，球O的半径R?DO2，所求外接球的体积为?OO2????3?2?2故选：B. 【点睛】
本题考查外接球体积的计算，同时也考查了二面角的定义，解题的关键就是要找出球心的位置，并分析几何图形的形状，借助相关定理进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
二、填空题
4．边长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，点M为上底面A1B1C1D1的中心，N为下底面ABCD内一点，且直线MN与底面ABCD所成线面角的正切值为2，则点N的轨迹围成的封闭图象的面积为_____. 【答案】
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【解析】作出图形，设正方体底面ABCD的中心为点O，可得出MO?平面ABCD，由直线与平面所成角的定义得出tan?MNO?2，可得出ON?1，从而可知点N的2轨迹是半径为【详解】 如下图所示，
1的圆，然后利用圆的面积公式可得出结果. 2
由题意知，M在底面ABCD内的投影为底面ABCD的中心O，连接ON， 则?MNO即为直线MN与底面ABCD所成的角，所以，tan?MNO?则ON?OM?2， ON11，所以N的轨迹是以底面ABCD的中心O为圆心，以为半径的圆， 222?1???因此，N的轨迹围成的封闭图象的面积为S??????，故答案为：. 44?2?【点睛】
本题考查立体几何中的轨迹问题，同时也考查直线与平面所成角的定义，解题时要熟悉几种常见曲线的定义，考查空间想象能力，属于中等题.
x25．设F1,F2为椭圆C:?y2?1的两个焦点。M为C上点，?MF1F2的内心I的纵
4坐标为2?3，则?F1MF2的余弦值为_____. 【答案】0
【解析】因为?MF1F2的内心I的纵坐标为2?3，所以可知道?MF1F2的内切圆的半径为2?3，又由三角形的内切圆半径r?2S，可得到三角形的面积S，接着根据周长焦点三角形的面积S?btan?【详解】 如图，
2?1??F1MF2?确定?F1MF2，进而求出答案. ?2?第 4 页 共 14 页
由题意知?MF1F2的内切圆的半径为2?3，又由三角形的内切圆半径r?即S?2S， 周长1(2?3)(4?23)?(2?3)(2?3)?1， 22又由焦点三角形的面积S?btan??1??1??F1MF2??tan??F1MF2?， ?2??2?所以tan???1??F1MF2??1，所以?F1MF2?，所以cos?F1MF2?0.
2?2?【点睛】
?1?2S?btan本题主要考查通过焦点三角形的面积公式??F1MF2?，确定?F1MF2的余
?2?弦值，熟悉公式的运用是解决本题的关键.
三、解答题
6．某调研机构，对本地?22,50?岁的人群随机抽取200人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，结果显示，有100人为“低碳族”，该100人的年龄情况对应的频率分布直方图如图.
（1）根据频率分布直方图，估计这100名“低碳族”年龄的平均值，中位数； （2）若在“低碳族”且年龄在?30,34?、?34,38?的两组人群中，用分层抽样的方法抽取30人，试估算每个年龄段应各抽取多少人？
【答案】（1）平均值为36，中位数为36；（2）年龄在?30,34?的8人，在?34,38?的22人.
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2020届云南师大附中高三适应性月考(一)数学(理)试题(解析版)
