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【课题】2.3一元二次不等式
【教学目标】
1、 了解方程、不等式、函数的图像之间的联系; 2、 掌握一元二次不等式的图像解法; 【教学重点】
1、 方程、不等式、函数的图像之间的联系; 2、 一元二次不等式的解法。 【教学难点】
一元二次不等式的解法。 【教学设计】
1、从复习一次函数图像、一元一次方程、一元一次不等式的联系入手;
2、类比观察一元二次函数图像,得到一元二次不等式的图像解法; 3、加强知识的巩固与练习,培养学生的数学思维能力。 【课时安排】 2课时(90分钟) 【教学过程】
一、一元二次不等式的解法
? 复习回顾
1、根据初中所学知识,填写下面表格:
y=ax2+bx+c (a>0)的图像 △>0 △=0 △<0 ax2+bx+c=0 (a>0)的根
有 2 个根 有 1 个根 有 0 个根 y 6 2、观察二次函数y=x2-5x+6的图像,回答下列问题:
0 2 3 x
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(1)当y=0时,x取什么值?
(2)二次函数y=x2-5x+6的图像与x轴交点的坐标是什么? (3)当y<0时,x的取值范围是什么?
总结:由此看到,通过对函数y=x2-5x+6的图像的研究,可以求出不等式x2-5x+6>0与x2-5x+6<0的解集
? 动脑思考 探索新知
概念:一般的,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像与x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的解,函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像在x轴上方(下方)的部分所对应的自变量x的取值范围,即为一元二次不等式ax2+bx+c>0(<0)(a>0)的解集。
? 巩固知识 典型例题 例1:解不等式x2-2x-3>0
方程x2-2x-3=0的解集为{?2,3},故不等式x2-2x-3>0的解集为{x丨x<-2或x>3} 总结: 解形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的一元二次不等式,一般步骤: (1) 确定对应方程ax2+bx+c=0的解; (2) 画出对应方程y=ax2+bx+c的图像; (3) 由图像得出不等式的解集。
? 运用知识 强化练习 书本P37 练习部分 例2:解不等式9x2-6x+1>0
因为△=0,所以方程9x2-6x+1=0有两个相等的实数根x1=x2=1/3 函数y=9x2-6x+1的图像是开口向上的抛物线, 与x轴仅有一个交点(1/3,0)
观察图像可得,原不等式的解集为{x丨x≠1/3},
0 1/3 y 1 x
即(-∞,1/3)∪(1/3,+∞)
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? 结论
总结a>0时不等式ax2+bx+c>(<)0的解集
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 △>0 有两个相异实数解 x1,x2 (x1<x2) △=0 有两个相等实数解 x1=x2=-b/2a △<0 没有实数解 y=ax2+bx+c (a>0)的图像 x1 x2 x1= x2 ax2+bx+c>0的解集 (-∞,x1)∪ (x2,+∞) (-∞,-b/2a)∪ (-b/2a,+∞) ? R ? ax2+bx+c<0的解集 (x1,x2)
? 运用知识 强化练习 书p39 练习部分
例3:解不等式-x2-2x+3>0
解:方法一:在不等号两边同时乘以-1,可得x2+2x-3<0
分析:一般的,对于二次项系数为负数的一元二次不等式,可通过在不等号两边同时乘以-1,化为二次项系数为正数的一元二次不等式求解。 方法二:画出二次函数y=-x2-2x+3的图像 例4:解下列各一元二次不等式:
(1)x2?x?6?0; (2)x2?9; (3)5x?3x2?2?0;(4)?2x2?4x?30.
分析:首先判定二次项系数是否为正数,再研究对应一元二次方程解的情况,最后对照表格写出不等式的解集.
解:(1)因为二次项系数为1?0,且方程x2?x?6?0的解集为{?2,3},故不等式x2?x?6?0的解集为(??,?2)(3,??).
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(2)x2?9可化为x2?9?0,因为二次项系数为1?0,且方程x2?9?0的解集为{?3,3},故x2?9的解集为??3,3?.
(3)5x?3x2?2?0中,二次项系数为?3?0,将不等式两边同乘?1,得
23x2?5x?2?0.由于方程3x2?5x?2?0的解集为{,1}.故不等式3x2?5x?2?0的解集
3?2??2?为?,1?,即5x?3x2?2?0的解集为?,1?. ?3??3?(4)因为二次项系数为?2?0,将不等式两边同乘?1,得2x2?4x?320.由于判别
式????4??4?2?3??8?0,故方程2x2?4x?3?0没有实数解.所以不等式2x2?4x?30的解集为R,即?2x2?4x?30的解集为R.
例3:x是什么实数时,3x2?x?2有意义. 解:根据题意需要解不等式 3x2?x?220.解方程3x2?x?2?0得x1??,x2?1.由于
32??二次项系数为3?0,所以不等式的解集为???,??3??2??即当x????,??3??
? 课后作业
一点通P57 课后巩固单
?1,???.
?1,???时,3x2?x?2有意义.
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高教版中职数学基础模块上册2.3一元二次不等式
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