所以
原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．
说明 由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，
d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．
本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了
二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地． 四、巩固练习：
1. 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．
分析 本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．
解 原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则 原式=(u2-v)2-4v(u2-2v) =u4-6u2v+9v2 =(u2-3v)2 =(x2+2xy+y2-3xy)2 =(x2-xy+y2)2．
五、真题精解：
1） 已知多项式ax3+bx2+cx+d除以x-1时的余数是1，除以x-2时的余数是3，那么，它除以(x-1)(x-2)时所得
的余数是什么？（第12届“希望杯”试题）
解：设原式=(x-1)(x-2)(ax+k)+(mx+n)，当x=1时，原式=1，即m+n=1；当x=2时，原式=3，即2m+n=3，
解此关于m、n的方程组得m=2,n=-1，故原式除以(x-1)(x-2)时的余数为x-1
2） k为何值时，多项式x2-2xy+ky2+3x-5y+2能分解成两个一次因式的积？（天津市竞赛试题）
解：原式中不含y的项为x2+3x+2可分解为 (x+1)(x+2)，故可设原式=[(x+1)+ay][(x+2)+by]，将其展开得：
x2+(a+b)xy+aby2+3x+(2a+b)y+2，与原式对比系数得：a+b=-2, ab=k, 2a+b=-5，解之得a=-3,b=1,k=-3 3） 如果x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2，求a+b的值。（美国犹他州中学竞赛试题）
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解法1：设原式=(x+1)(x+2)(x+k)，展开后得：x+(3+k)x+(3k+2)x+2k，对比原式系数得a=3+k, b=3k+2, 8=2k，
所以a+b=4k+5=16+5=21
解法2：因当x=-1或x=-2时，原式=0，分别代入后得a-b+8=0, 4a-2b+8=0，解得a=7, b=14，故a+b=14
真题实练：
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1．下列四个从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A. (x+1)(x-1)=x2 B. (a-b)(m-n)=(b-a)(n-m) C. ab-a-b+1=(a-1)(b-1) D. m2-2m-3=m(m-2-3/m) （第8届“希望杯”试题）（提示：本题简单，因式分解的概念）
2．下列五个多项式中在有理数范围可以进行因式分解的有（ ） ①a2b2-a2-b2-1 ②x3-9ax2+27a2x-27a3 ③x(b+c-d)-y(d-b-c)-2c+2d-2b ④3m(m-n)+6n(n-m) ⑤(x-2)2+4x A.①②③ B. ②③④ C. ③④⑤ D. ①②④ （第10届“希望杯”试题）（提示：立方差公式、提取公因式，但排除法最快） 3．设b≠c，且满足(
)(a-b)+
(b-c)=a-c，则
的值（ ）
A.大于零 B. 等于零 C. 小于零 D. 正负号不确定 （第12届“希望杯”试题）（提示：按(a-b)和(b-c)重新整理分组合并）
4．已知x2+ax-12能分解成两个整系数的一次因式乘积，则符合条件的整数a的个数是（ ） A.3个 B. 4个 C. 6个 D. 8个 （第7届“希望杯”试题）（提示：对-12以十字相乘法拆分穷举）
5．y-2x+1是4xy-4x2-y2-k的一个因式，则k的值是（ ） A. 0 B. -1 C. 2 D. 4 （第14届“希望杯”试题）（提示：完全平方+平方差）
6．将多项式x2-4y2-9z2-12yz因式分解结果是（ ） A. (x+2y-3z)(x-2y-3z) B. (x-2y-3z)(x-2y+3z) C. (x+2y+3z)(x+2y-3z) D. (x+2y+3z)(x-2y-3z) （第9届“希望杯”试题）（提示：完全平方+平方差）
7．分解因式：x2-4y2-9z2-12yz= 。 （第9届“希望杯”试题）（提示：完全平方+平方差）
8．分解因式：x5+x-1= 。 （第9届“希望杯”试题）（提示：添项+立方和）
9．x3+3x2-3x+k有一个因式是x+1，则k= 。 （第10届“希望杯”试题）（提示：分组成每项都含x+1）
10．分解因式：xy-1-x+y= 。 （第10届“希望杯”试题）（提示：分组提取公因式）
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因式分解（竞赛题）含答案
