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1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。 2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。 3.正确运用正方形的性质解题。
4.通过四边形的从属关系渗透集合思想。
5.通过理解四种四边形在联系，培养学生辩证观点。
知识结构
正方形的性质
因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，
所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质（由学生 和老师一起总结）。 正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。
正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。 小结：
（1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图 （2）正方形的性质： ①正方形对边平行。 ②正方形四边相等。
③正方形四个角都是直角。
④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
WORD版本
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例1．如图，折叠正方形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，使AD?2，求AG．
【解析】：作GM⊥BD，垂足为M． 由题意可知∠ADG=GDM， 则△ADG≌△MDG． ∴DM=DA=2． AC=GM 又易知：GM=BM．
而BM=BD-DM=22-2=2（2-1）， ∴AG=BM=2（2-1）．
例2 ．如图，P为正方形ABCD一点，PA?PB?10，并且P点到CD边的距离也等于10，求正方形ABCD的面积？
【解析】：过P作EF?AB于F交DC于E．
1 设PF?x，则EF?10?x，BF?(10?x)．
2 由PB?PF?BF． 可得：10?x? 故x?6．
2 SABCD?16?256．
222221(10?x)2． 4例3. 如图，E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的一点，AM?EF，?垂足为M，AM?AB，则有EF?BE?DF，为什么？
【解析】：要说明EF=BE+DF，只需说明BE=EM，DF=FM即可，而连结AE、AF．只要能说明△ABE≌△AME，△ADF≌△AMF即可．
理由：连结AE、AF．
由AB=AM，AB⊥BC，AM⊥EF，AE公用， ∴△ABE≌△AME． ∴BE=ME．
同理可得，△ADF≌△AMF．
∴DF=MF．
∴EF=ME+MF=BE+DF．
例4．如下图E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且?EAF?45，试说明EF?BE?DF。 【解析】：将△ADF旋转到△ABC，则△ADF≌△ABG
∴AF=AG，∠ADF=∠BAG，DF=BG
WORD版本
? .
∵∠EAF=45°且四边形是正方形， ∴∠ADF﹢∠BAE=45° ∴∠GAB﹢∠BAE=45° 即∠GAE=45°
∴△AEF≌△AEG（SAS） ∴EF=EG=EB﹢BG=EB﹢DF
例5. 如图，在正方形ABCD的BC、CD边上取E、F两点，使
?EAF?45，AG?EF于G. 求证：AG?AB
【解析】：欲证 AG=AB，就图形直观来看，
应证Rt△ABE与Rt△AGE全等，但条件不够. ∠EAF=45°怎么用呢？
显然∠1＋∠2=45°，若把它们拼在一起，问题就解决了.
【证明】：把 △AFD绕A点旋转90°至△AHB.
∵∠EAF=45°，∴∠1＋∠2=45°. ∵∠2=∠3，∴∠1＋∠3=45°. 又由旋转所得 AH=AF，AE=AE. ∴ △AEF≌△AEH.
例6.(1) 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,
CD上,AE,BF交于点O,?AOF?90?. 求证：BE?CF.
(2) 如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,
BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,?FOH?90?,EF?4.
求GH的长.
1.已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，
图2
EF,GH交于点O,?FOH?90?,EF?4. 直接写出下列两题的答案：
①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长；
②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).
WORD版本
图3
图4
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【解析】
(1) 证明：如图1，∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°， ∴ ∠EAB+∠AEB=90°. ∵ ∠EOB=∠AOF＝90°,
∴ ∠FBC+∠AEB=90°，∴ ∠EAB=∠FBC，
图1
∴ △ABE≌△BCF ， ∴ BE=CF． (2) 解：如图2,过点A作AM//GH交BC于M，
/
过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点O， 则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形， ∴ EF=BN,GH=AM， /
∵ ∠FOH＝90°, AM//GH，EF//BN, ∴ ∠NOA=90°, 故由(1)得, △ABM≌△BCN， ∴ AM=BN， ∴ GH=EF=4． (3) ① 8．② 4n．
N
M O′
图2
【双基训练】
1. 如图6，点A在线段BG上，四边形ABCD与DEFG都是正方形，?其边长分别为3cm和5cm，则?CDE的面积为________cm．
2
(6) (7)
2．你可以依次剪6正方形纸片，拼成如图7所示图形．?如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，?那么正方形⑤的面积为________．
3.如图9，已知正方形ABCD的面积为35平方厘米，E、F分别为边AB、BC上的点．AF、CE相交于G，并且?ABF的面积为14平方厘米，?BCE的面积为5平方厘米，?那么四边形BEGF的面积是________．
WORD版本
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4. 如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB?2BC。分别以
AB、BC为边作正方形ABEF和正方形BCMN，连接FN， EC。
求证：FN?EC。
5.如图 ，ABCD是正方形．G是BC上的一点，DE?AG于 E，BF?AG于 F． （1）求证：△ABF≌△DAE；
A D （2）求证：DE?EF?FB．
E
F
C B G
【纵向应用】
6. 在正方形ABCD中，?1??2．
1求证：OF?BE
2
7. 在正方形ABCD中，?1??2．AE?DF,
求证：OG?
8. 如图13，点E为正方形ABCD对角线BD上一点, EF?BC, 求证：AE?FG
BAE21FGDCD12GHEOCFA1CE 2BEG?CD
A
E
D G
B
WORD版本
13
F C
2019年初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教(学)案(有答案)
