1992年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)(1)设函数y?y(x)由方程e
2
2
2x?y
?cos(xy)?0确定,则dy
?____________.dx
(2)函数u?ln(x?y?z)在点M(1,2,?2)处的梯度graduM?____________.(3)设f(x)??
??1, ?? 2 则其以2?为周期的傅里叶级数在点x??处收敛于____________.(4)微分方程y??ytanx?cosx的通解为y?____________.?a1b1 a1b2 ?a1bn???ab ab ?ab21222n?(5)设A??,其中ai?0,bi?0,i?1,2?n.则矩阵A的秩???????ab ab ? ab n2nn??n1 r(A)?____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)x2?1x1 (1)当x?1时,函数e?1的极限x?1(A)等于2? ((C)为? )(B)等于0(D)不存在但不为? ()(2)级数(?1)n(1?cos)(常数??0)?nn?1 (B)条件收敛2 3 ?(A)发散(C)绝对收敛(D)收敛性与?有关()(3)在曲线x?t,y??t,z?t的所有切线中,与平面x?2y?z?4平行的切线(A)只有1条3 2 (B)只有2条n (C)至少有3条(D)不存在((D)3)(4)设f(x)?3x?x|x|,则使f(0)存在的最高阶数n为(A)0(B)1(C)2?1?? 0?????(5)要使?1?0,?2? 1都是线性方程组Ax?0的解,只要系数矩阵A为???????2????1?? ()(A)??2 1 1???1 0 2? ? ? 0 1 ?1? (B)? ? 2 0 ?1? ? ? 0 1 1? (C)? ?01?1???(D)4?2?2?? ?011??? 三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.)(1)求limx?0 ex?sinx?11?1?xx 2.?2z (2)设z?f(esiny,x?y),其中f具有二阶连续偏导数,求.?x?y 2 2 2 ?3?1?x, x?0, (3)设f(x)???x求?f(x?2)dx.1 ??e, x>0, 四、(本题满分6分.)求微分方程y???2y??3y?e五、(本题满分8分)计算曲面积分面z? ?3x 的通解.??(x ? 3 ?az2)dydz?(y3?ax2)dzdx?(z3?ay2)dxdy,其中?为上半球a2?x2?y2的上侧.六、(本题满分7分)设f??(x)?0,f(0)?0,证明对任何x1?0,x2?0,有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2).七、(本题满分8分)在变力F?yzi?zxj?xyk的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面x2y2z2 ???1上第一卦限的点M(?,?,?),问当?,?,?取何值时,力F所做的功W最a2b2c2大?并求出W的最大值.八、(本题满分7分)设向量组?1、?2、?3线性相关,向量组?2、?3、?4线性无关,问：(1)?1能否由?2、?3线性表出？证明你的结论.(2)?4能否由?1、?2、?3线性表出？证明你的结论.九、(本题满分7分)设3阶矩阵A的特征值为?1?1,?2?2,?3?3,对应的特征向量依次为?1??1??1??1??,???2?,???3?,又向量???2?,?1??1??2??3???? ?????1???4???9???3?? (1)将?用?1,?2,?3线性表出.(2)求A?(n为自然数).n 十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)(1)已知P(A)?P(B)?P(C)? C全不发生的概率为___________.11 ,P(AB)?0,P(AC)?P(BC)?,则事件A、B、416?2X (2)设随机变量X服从参数为1的指数分布,则数学期望E(X?e十一、(本题满分6分))?___________.设随机变量X与Y独立,X服从正态分布N(?,?),Y服从[??,?]上的均匀分布,试2 求Z?X?Y的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数?(x)表示,其中?(x)? 12??x ?? edt).? t221992年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)ex?y?ysin(xy) (1)【答案】?x?ye?xsin(xy)【解析】函数y?y(x)是一个隐函数,即它是由一个方程确定,写不出具体的解析式.方程两边对x求导,将y看做x的函数,得e x?y (1?y?)?sin(xy)(xy??y)?0.解出y?,即dyex?y?ysin(xy) .?y???x?ydxe?xsin(xy)【相关知识点】1.复合函数求导法则：如果u?g(x)在点x可导,而y?f(x)在点u?g(x)可导,则复合函数y?f?g(x)?在点x可导,且其导数为dy ?f?(u)?g?(x)dx2.两函数乘积的求导公式：或dydydu??.dxdudx?f(x)?g(x)???f?(x)?g(x)?f(x)?g?(x).(2)【答案】2 ?1,2,?2?9【解析】对函数u求各个分量的偏导数,有?u2x?u2y?u2z ；；.?2??22222222?xx?y?z?yx?y?z?zx?y?z由函数的梯度(向量)的定义,有??u?u?u?1 gradu??,,??22x,2y,2z?,22??x?y?zx?y?z?? 所以gradu M ? 12 2,4,?4????1,2,?2?.12?22?(?2)29【相关知识点】复合函数求导法则：如果u?g(x)在点x可导,而y?f(x)在点u?g(x)可导,则复合函数y?f?g(x)?在点x可导,且其导数为dy ?f?(u)?g?(x)dx或dydydu??.dxdudx(3)【答案】12?2【解析】x??是[??,?]区间的端点,由收敛性定理—狄利克雷充分条件知,该傅氏级数在x??处收敛于111[f(???0)?f(??0)]?[?1?1??2]??2.222【相关知识点】收敛性定理—狄利克雷充分条件：函数f(x)在区间[?l,l]上满足：(i)连续,或只有有限个第一类间断点；(ⅱ)只有有限个极值点.则f(x)在[?l,l]上的傅里叶级数收敛,而且a0?n?n???(ancosx?bnsinx)2n?1ll? ? f(x), 若x?(?l,l)为f(x)的连续点,??1 ???f(x?0)?f(x?0)?, 若x?(?l,l)为f(x)的第一类间断点,?2?1 ?f(?l?0)?f(l?0)?, 若x??l.??2(4)【答案】y?xcosx?Ccosx,C为任意常数【解析】这是标准形式的一阶线性非齐次方程,由于e? tanxdx ? 1 ,方程两边同乘|cosx|1 ,得cosx?1? ?cosx 积分1?? y??1?y?x?C.cosx? 故通解为y?xcosx?Ccosx,C为任意常数.(5)【答案】1【解析】因为矩阵A中任何两行都成比例(第i行与第j行的比为ai ),所以A中的二阶aj 子式全为0,又因ai?0,bi?0,知道a1b1?0,A中有一阶子式非零.故r(A)?1.【相关知识点】矩阵秩的定义：如果矩阵中存在r阶子式不为零,而所有的r?1阶子式全为零时,则此矩阵的秩为r.
1992考研数一真题及解析 - 图文
