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28．2．1 解直角三角形
1．理解解直角三角形的意义和条件；(重点)
2．根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素．(难点)
一、情境导入
世界遗产意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜．设塔顶中心点为B, 塔身中心线与垂直中心线夹角为∠A，过点B向垂直中心线引垂线，垂足为点C.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m，求∠A的度数．
在上述的Rt△ABC中，你还能求其他未知的边和角吗？ 二、合作探究
探究点一：解直角三角形
【类型一】 利用解直角三角形求边或角 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，按下
列条件解直角三角形．
(1)若a＝36，∠B＝30°，求∠A的度数和边b、c的长； (2)若a＝62，b＝66，求∠A、∠B的度数和边c的长．
解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形． a解：(1)在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，a＝36，∴∠A＝90°－∠B＝60°，∵cosB＝，ca361
即c＝＝＝243，∴b＝sinB·c＝×243＝123；
cosB23
2
a3
(2)在Rt△ABC中，∵a＝62，b＝66，∴tanA＝＝，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，
b3∴c＝2a＝122.
方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，解题时尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题 【类型二】 构造直角三角形解决长度问题 .
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一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，
∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，试求CD的长．
解析：过点B作BM⊥FD于点M，求出BM与CM的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝60°，利用解直角三角形解答即可．
解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝122，∴BC＝AC＝122.∵AB∥CF，∴BM＝sin45°BC＝122×中，∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝12－43.
方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第4题 【类型三】 运用解直角三角形解决面积问题 3 如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，sinA＝，D为边AC上一点，∠BDC＝45°，
7
DC＝6.求△ABC的面积．
2
＝12，CM＝BM＝12.在△EFD2
BM
＝43，∴CD＝CM－MD＝
tan60°
解析：首先利用正弦的定义设BC＝3k，AB＝7k，利用BC＝CD＝3k＝6，求得k值，从而求得AB的长，然后利用勾股定理求得AC的长，再进一步求解．
BC3
解：∵∠C＝90°，∴在Rt△ABC中，sinA＝＝，设BC＝3k，则AB＝7k(k＞0)，在
AB7Rt△BCD中，∵∠BCD＝90°，∴∠BDC＝45°，∴∠CBD＝∠BDC＝45°，∴BC＝CD＝3k＝6，∴k＝2，∴AB＝14.在Rt△ABC中，AC＝AB2－BC2＝142－62＝410，∴S△ABC11
＝AC·BC＝×410×6＝1210.所以△ABC的面积是1210. 22
方法总结：若已知条件中有线段的比或可利用的三角函数，可设出一个辅助未知数，列方程解答．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题 探究点二：解直角三角形的综合
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【类型一】 解直角三角形与等腰三角形的综合 已知等腰三角形的底边长为2，周长为2＋2，求底角的度数．
解析：先求腰长，作底边上的高，利用等腰三角形的性质，求得底角的余弦，即可求得底角的度数．
解：如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝2，∵周长为2＋2，∴AB＝AC＝1.过A作AD⊥BC于点D，则BD＝2BD2
，在Rt△ABD中，cos∠ABD＝＝，∴∠ABD＝45°，即2AB2
等腰三角形的底角为45°.
方法总结：求角的度数时，可考虑利用特殊角的三角函数值． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题 【类型二】 解直角三角形与圆的综合 已知：如图，Rt△AOB中，∠O＝90°，以OA为半径作⊙O，BC切⊙O于点C，
连接AC交OB于点P.
(1)求证：BP＝BC；
1
(2)若sin∠PAO＝，且PC＝7，求⊙O的半径．
3
解析：(1)连接OC，由切线的性质，可得∠OCB＝90°，由OA＝OC，得∠OCA＝∠OAC，再由∠AOB＝90°，可得出所要求证的结论；(2)延长AO交⊙O于点E，连接CE，在Rt△AOP和Rt△ACE中，根据三角函数和勾股定理，列方程解答．
解：(1)连接OC，∵BC是⊙O的切线，∴∠OCB＝90°，∴∠OCA＋∠BCA＝90°.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠OAC＋∠BCA＝90°，∵∠BOA＝90°，∴∠OAC＋∠APO＝90°，∵∠APO＝∠BPC，∴∠BPC＝∠BCA，∴BC＝BP；
1
(2)延长AO交⊙O于点E，连接CE，在Rt△AOP中，∵sin∠PAO＝，设OP＝x，AP
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＝3x，∴AO＝22x.∵AO＝OE，∴OE＝22x，∴AE＝42x.∵sin∠PAO＝，∴在Rt△ACE
3
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人教版最新九年级数学下册28.2.1 解直角三角形教案
