高中数学 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义备课资料 新人教A版必修4

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高中数学 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义备课资料 新人教A版

必修4

一、向量的数乘运算律的证明

设a、b为任意向量,λ、μ为任意实数,则有

(1)λ(μa)=(λμ)a; ① (2)(λ+μ)a=λa+μa; ② (3)λ(a+b)=λa+λb. ③ 证明：(1)如果λ=0或μ=0或a=0,则①式显然成立. 如果λ≠0,μ≠0,且a≠0,则根据向量数乘的定义,有 |λ(μa)|=|λ||μa|=|λ||μ||a|, |(λμ)a|=|λμ||a|=|λ||μ||a|. 所以|λ(μa)|=|(λμ)a|.

如果λ、μ同号,则①式两边向量的方向都与a同向;如果λ、μ异号,则①式两边向量的方向都与a反向.

因此,向量λ(μa)与(λμ)a有相等的模和相同的方向,所以这两个向量相等. (2)如果λ=0或μ=0或a=0,则②显然成立. 如果λ≠0,μ≠0且a≠0,可分如下两种情况: 当λ、μ同号时,则λa和μa同向,所以 |(λ+μ)a|=|λ+μ||a|=(|λ|+|μ|)|a|,

|λa+μa|=|λa|+|μa|=|λ||a|+|μ||a|=(|λ|+|μ|)|a|, 即有|(λ+μ)a|=|λa+μa|. 由λ、μ同号,知②式两边向量的方向或都与a同向,或都与a反向,即②式两边向量的方向相同.

综上所述,②式成立.

如果λ、μ异号,当λ>μ时,②式两边向量的方向都与λa的方向相同;当λ<μ时,②式两边向量的方向都与μa的方向相同.

还可证|(λ+μ)a|=|λa+μa|.因此②式也成立.

(3)当a=0,b=0中至少有一个成立,或λ=0,λ=1时,③式显然成立.

图13

当a≠0,b≠0且λ≠0,λ≠1时, 可分如下两种情况:

当λ>0且λ≠1时如图13,在平面内任取一点O作OA=a,AB=b,OA1=λa,A1B1=λb,则OB=a+b,OB1=λa+λb.

由作法知AB∥A1B1,有∠OAB=∠OA1B1,|A1B1|=λ|AB|.

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所以||OA1||A1B1||OA|=|A1B1|=λ.所以△AOB∽△A1OB1.

所以|OB1||OB|=λ,∠AOB=∠A1OB1.

图14

因此O、B、B1在同一条直线上,|OB1|=|λOB|,OB1与λOB的方向也相同. 所以λ(a+b)=λa+λb.

当λ<0时,由图14可类似证明λ(a+b)=λa+λb. 所以③式也成立. 二、备用习题 1.

11[(2a+8b)-(4a-2b)]等于（ ） 32A.2a-b B.2b-a C.b-a D.a-b

2.设两非零向量e1、e2不共线,且ke1+e2与e1+ke2共线,则k的值为（ ） A.1 B.-1 C.±1 D.0 3.若向量方2x-3(x-2a)=0,则向量x等于（ ）

66a B.-6a C.6a D.?a 5514.在△ABCAE=AB,EF∥BC,EF交AC于F,设AB=a,AC=b,则BF用a、b表示的形式

5A.

是BF=_________.

5.在△ABC,M、N、P分别是AB、BC、CA边上的靠近A、B、C的三等分点,O是△ABC平面上的任意一点,若OA+OB?OC=

11e1-e2,则OM?ON?OP=________. 326.已知△ABC的重心为G,O为坐标原点,OA=a,OB=b,OC=c, 求证:OG=

1(a+b+c). 37.对判断向量a=-2e与b=2e是否共线?有如下解法:

解:∵a=-2e,b=-2e,∴b=-a.∴a与b共线.请根据本节所学的共线知识给以评析.如果解法有误,请给出正确解法. 参考答案: 1.B 2.C 3.C 4.-a+

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5.

11e1-e2. 326.连接AG并延长,设AG交BC于M. ∵AB=b-a,AC=c-a,BC=c-b,

111BC=(b-a)+(c-b)=(c+b-2a). 22221∴AG=AM=(c+b-2a).

3311∴OG=OA+AG=a+(c+b-2a)=(a+b+c).

33∴AM=AB+

7.评析:乍看上述解答,真是简单明快.然而,仔细研究题目已知,却发现其解答存在问题,这

是因为,原题已知中,对向量e并无任何限制,那么就应允许e=0,而当e=0时,显然,a=0,b=0,此时,a不符合定理中的条件,且使b=λa成立的λ值也不唯一(如λ=-1,λ=1,λ=2等均可使b=λa成立),故不能应用定理来判断它们是否共线.可见,对e=0的情况应另法判断才妥. 综上分析,此题应解答如下: 解:(1)当e=0时,则a=-2e=0.

由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”,所以此时a与b共线. (2)当e≠0时,则a=-2e≠0,b=2e≠0,

∴b=-a〔这时满足定理中的a≠0,及有且只有一个实数λ(λ=-1),使得b=λa成立〕. ∴a与b共线.

综合(1)(2),可知a与b共线.

(设计者：沈献宏)

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