[A 基础达标]
25π1．－的角是( )
6A．第一象限的角 C．第三象限的角
25ππ
解析：选D.因为－＝－－4π，
66
25ππ
所以－与－的终边相同，为第四象限的角．
66
2．若2 rad的圆心角所对的弧长为4 cm，则这个圆心角所对的扇形面积是( ) A．4 cm2 C．4π cm2
B．2 cm2 D．2π cm2 B．第二象限的角 D．第四象限的角
l411
解析：选A.设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S，则r＝＝＝2(cm)，S＝lr＝×
22α24×2＝4(cm2)．
3．与30°角终边相同的角的集合是( )
??π
A.?α?α＝k·360°＋，k∈Z?
6???
B．{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z} C．{α|α＝2k·360°＋30°，k∈Z}
??π
D.?α?α＝2kπ＋，k∈Z?
6???
ππ
解析：选D.因为30°＝30× rad＝ rad，
1806
π
所以与30°终边相同的所有角可表示为α＝2kπ＋，k∈Z，故选D.
64．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A．2 C．6
B．4 D．8
111
解析：选C.设扇形的半径为r，弧长为l，则由扇形面积公式可得2＝lr＝αr2＝×4
222×r2，解得r＝1，l＝αr＝4，所以所求扇形的周长为2r＋l＝6.
5．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) π
A. 3C.3
2πB. 3D．2
解析：选C.设圆的半径为r，则圆内接正三角形边长为3r，所以圆心角的弧度数为＝3.
6．把－570°写成2kπ＋α(k∈Z，α∈(0，2π))的形式是________． π19
解析：－570°＝－?570×?rad＝－π rad，
6180??195
所以－π＝－4π＋π.
665
答案：－4π＋π
6
π
7．已知一扇形的周长为＋4，半径r＝2，则扇形的圆心角为________．
3π
解析：设扇形的圆心角为α，则＋4＝2r＋2α.
3π
又因为r＝2，所以α＝.
6π答案： 6
8．经过点P(a，a)(a≠0)的角α的集合是________． 解析：当a>0时，点P(a，a)在第一象限， π
此时α＝2kπ＋，k∈Z；
4当a<0时，点P(a，a)在第三象限， 5
此时α＝2kπ＋π，k∈Z，
4
??π
故满足条件的角α的集合为?α|α＝kπ＋，k∈Z?.
4????π
答案：?α|α＝kπ＋，k∈Z?
4??
3r
r
α25
9．已知角α的终边与－π的终边关于x轴对称，求角在(－π，π)内的值．
33π252525
解：因为π与－π的终边关于x轴对称，且π＝8π＋，
3333
π
所以角α与的终边相同．
3
πα2kππ
所以α＝2kπ＋(k∈Z)，＝＋(k∈Z)．
3339
α2kππ
因为－π<<π，所以－π<＋<π.
339α5π
当k＝－1时，＝－∈(－π，π)；
39
απ
当k＝0时，＝∈(－π，π)；
39
α7π
当k＝1时，＝∈(－π，π)．
39
α5ππ7π
所以在(－π，π)内的值有三个，它们分别是－，和. 3999
10．已知一个扇形的周长是40.
(1)若扇形的面积为100，求扇形的圆心角； (2)求扇形面积S的最大值．
解：(1)设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α， l＋2r＝40，????l＝20，
则由题意得?1解得?
?r＝10，lr＝100，???2l
则α＝＝2(rad)．
r故扇形的圆心角为2 rad. (2)由l＋2r＝40得l＝40－2r， 11
故S＝lr＝(40－2r)·r
22＝20r－r2＝－(r－10)2＋100，
故当r＝10时，扇形面积S取最大值100.
[B 能力提升]
3
11．如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的倍，则该弧所对的圆心角
2是原来的( )
1
A.倍 21
C.倍 3
B．2倍 D．3倍
l
解析：选D.设圆的半径为r，弧长为l，圆心角的弧度数为，将半径变为原来的一半，r3l23l
弧长变为原来的倍，则弧度数变为＝3·，即弧度数变为原来的3倍．
21r
r2
12．若α是第三象限的角，则π－是( )
2A．第一或第二象限的角 B．第一或第三象限的角 C．第二或第三象限的角
α
D．第二或第四象限的角
3
解析：选B.因为α为第三象限的角，所以有2kπ＋π<α<2kπ＋π，k∈Z，
2πα3
kπ＋< 224 απ3 －kπ－π<－<－kπ－，k∈Z， 422 παπ 故－kπ＋<π－<－kπ＋，k∈Z. 422当k为偶数时，π－在第一象限； 2当k为奇数时，π－在第三象限，故选B. 213．(1)把67°30′化成弧度＝________． 3 (2)把π 化成角度＝________． 5 π3 解析：(1)67°30′＝67.5°＝67.5×＝π. 18083?3π180?(2)π＝?5×?° ＝108°. 5π??3 答案：(1)π (2)108° 8 14．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10. (1)求弦AB所对的圆心角α的大小； (2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S. 解：(1)由⊙O的半径r＝10＝AB， 知△AOB是等边三角形， π 所以α＝∠AOB＝60°＝. 3π (2)由(1)可知α＝，r＝10， 3π10π 所以弧长l＝α·r＝×10＝， 3350π1110π 所以S扇形＝lr＝××10＝， 223311503 而S△AOB＝·AB·53＝×10×53＝， 222π3 所以S＝S扇形－S△AOB＝50?－?. ?32? [C 拓展探究] αα 15．如图，一长为3 dm，宽为1 dm的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底面与桌面所成角为所在的扇形的总面积．(圆心角为正) π ，试求点A走过的路程及走过的弧6 πππ1π 解：在扇形ABA1中，圆心角恰为，弧长l1＝·AB＝·3＋1＝π，面积S1＝··AB2 222221π ＝··4＝π. 22 ππππ1π 在扇形A1CA2中，圆心角也为，弧长l2＝·A1C＝·1＝，面积S2＝··A1C2 222222π1π ＝··12＝. 224 πππππ3 在扇形A2DA3中，圆心角为π－－＝，弧长l3＝·A2D＝·3＝π，面积263333π1π1π S3＝··A2D2＝··(3)2＝， 23232 π3π（9＋23）π所以点A走过的路程长l＝l1＋l2＋l3＝π＋＋＝，点A走过的弧所 236ππ7π 在的扇形的总面积S＝S1＋S2＋S3＝π＋＋＝. 424
同步人教B版高中数学必修第三册练习：第七章 7.1.2 弧度制及其与角度制的换算
