湖南省长沙市一中2010届高三数学第一次高考模拟考试（理） 新人教版【会员独享】
长沙市一中2007届高三第一次模拟试题理科数学
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分；在各小题所给的四个选项中只有一个
符合题目要求）
1．已知复数z1=2+i，z2=3 – i，其中i是虚数单位，则复数
A．0
B．
12z1的实部与虚部之和为（ ） z2 C．1 D. 2
2．在一次运动员的选拔中，测得到7名选手身高（单位：cm）分布18 0 1
的茎叶图如图．已知记录的平均身高为177cm，但有一名候选人的身170 3 x 8 9 高记录不清楚，其末位数记为x，那么x的值为
A．5
B．6
C．7
A A1 A1 A2 A2 72 84.5 B B1 B2 B1 B2 83.5 73 D．8
C C1 C2 C2 C1 80 76.5 实验结果 79 65 88 81 （ ）
3．某化工产品的产量受A、B、C三
个因素的影响，每个因素有两个水平，分别用A1，A2，B1，B2，C1，C2表示．分析如右正交试验结果表，得到最佳因素组合（最佳因素组合是指实验结果最大的因素组合）为（ ） A．(A1，B2，C1)
实验号 列 号 1 2 3 4 1水平的平均值 2水平的平均值 B．(A2，B1，C2) C．(A2，B1，C1) D．(A2，B2，C2)
4．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几
何体的体积（单位：cm3）是 （ ）
A．4
5．如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y = x2图像下方的点构成的区域．在
D内随机取一点，则该点在E中的概率为（ ）
B．5
C．6
D．7
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湖南省长沙市一中2010届高三数学第一次高考模拟考试（理） 新人教版【会员独享】 1 A．
5y
x 4 B． 1C．
314–2 2 D．
6．某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开了三个班．选课结束后，有四名选修英语
的同学要求改修数学，但数学选修每班至多可再接收两名同学，那么安排好这四名同学的方案有（ ） A．72种
B．54种
C．36种
D．18种
12?x2?5x,0?x?3?7．已知函数f (x) = ?6，若存在实数m,n?[0,5],且m?n,使得f (x)在区间[m，n]
?10?2x,3?x?5?上的值域为[m，n]，则这样的实数对（m，n）共有（ ） A．1对
C．3对
?4B．2对 D．4对
?0的两根，则过两点A (a2，a)，B (b2，b)的
8．已知a、b是关于x的方程x2sin??xcos??直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是（ ）
开始A．相交 C．相切
B．相离 D．不能确定
k=1S?0k?50?是否二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分；将各小题的最后结果填在题中相应的横在线）
9．如果执行的程序框图如右图所示，那么输出的S= .
2OA?AB?AC?0,且|OA|?|AB|, 10．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，
S?S?2kk?k?1 输出S结束则BA?BC= .
x2y211．已知直线l的极坐标方程是?sin(??)?1，若直线l与双曲线2??1(a?0)的一条渐近
6a3?线平行，则实数a = ．
12．不等式x?1?x?a?2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是 . 13．某研究机构为了研究人脚的大小与身高之间的关系，随机抽测了105人，并规定：身高大
于175cm的为“高个”，小于或等于175cm的为“非高个”；脚长大于42码的为“大脚”，小于或
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等于42码的为“非大脚”．根据测得结果得到一个2×2列联表．根据该表信息，能够以 的把握认为“脚的大小与身高有关系”．（填百分比）．
大 脚 非大脚 总 计 2高 个 20 10 30 非高个 30 45 75 总 计 50 55 105 n(ad?bc)2 附：k?，其中n = a + b + c + d．
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)P (k2≥k0) k0 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 14．已知函数f (x) = log2x?3sin(2?x),则函数y = f (|x|)的零点个数为 ．
15．给定项数为m (m∈N*，m≥3)的数列{an}，其中ai∈{0，1}(i= 1，2，3，…，m),这样的数列叫”0-1
数列”.若存在一个正整数k (2≤k≤m – 1)，使得数列{an}中某连续k项与该数列中另一个连续k项恰好按次序对应相等，则称数列{an}是“k阶可重复数列”．例如数列{an}:0，1，1，0，1，1，0，因为a1，a2，a3，a4与a4，a5，a6，a7按次序对应相等，所以数列{an}是“4阶可重复数列”.
（1）已知数列{bn}：0，0，0，1，1，0，0，1，1，0，则该数列 “5阶可重复数列”（填“是”或“不是”）；
（2）要使项数为m的所有”0-1数列”都为 “2阶可重复数列”，则m的最小值是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.已知向量a?(8cos?,2),b?(sin??cos?,3),设函数f(?)?a?b． （1）求函数f(?)的最大值；
（2）在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，f(A)?6,且△ABC的面积
为3，b?c?2?32,求a的值．
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湖南省长沙市一中2010届高三数学第一次高考模拟考试（理） 新人教版【会员独享】 17. “上海世博会”将于2010年5月1日至10月31日在上海举行。世博会“中国馆·贵宾厅”作为
接待中外贵宾的重要场所，其中陈列的艺术品是体现兼容并蓄、海纳百川的重要文化载体，为此，上海世博会事物协调局将举办“中国2010年上海世博会‘中国馆·贵宾厅’艺术品方案征集”活动．某地美术馆从馆藏的中国画、书法、油画、陶艺作品中各选一件代表作参与应征，假设这四件代表作中中国画、书法、油画入选“中国馆·贵宾厅”的概率均为，1陶艺入选“中国馆·贵宾厅”的概率为．假定这四件作品是否入选相互没有影响．
314（1）求该地美术馆选送的四件代表作中恰有一件作品入选“中国馆·贵宾厅”的概率; （2）设该地美术馆选送的四件代表作中入选“中国馆·贵宾厅”的作品件数为随机变量?，求?的数学期望.
18．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB = 4，CD = 2，等腰梯形的高为3，O为AB中点，
PO⊥平面ABCD，垂足为O，PO = 2，EA∥PO． （1）求证：BD⊥平面EAC；
（2）求二面角E—AC—P的平面角的余弦值．
19．某电视生产企业有A、B两种型号的电视机参加家电下乡活动，若企业投放A、B两种型
号电视机的价值分别为a、b万元，则农民购买电视机获得的补贴分别为
1a,mln(b?1)万10P
E
O D C
B
A
元（m＞0且为常数）．已知该企业投放总价值为10万元的A、B两种型号的电视机，且A、B两种型号的投放金额都不低于1万元．
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湖南省长沙市一中2010届高三数学第一次高考模拟考试（理） 新人教版【会员独享】 （1）请你选择自变量，将这次活动中农民得到的总补贴表示为它的函数，并求其定义域； （2）求当投放B型电视机的金额为多少万元时，农民得到的总补贴最大？
x2y220．在直角坐标系xOy中，椭圆C1：2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1、F2，其中右
ab焦点F2也是拋物线C2：y2 = 4x的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且|MF2| = （1）求椭圆C1的方程；
5． 3?1?（2）设E?0,?，是否存在斜率为k (k≠0)的直线l与椭圆C1交于A、B两点，且|AE| = |BE|？
?2?若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由．
21．已知等比数列?an?的首项为a1?2，公比为q（q为正整数），且满足3a3是8a1与a5的
3等差中项；数列?bn?满足2n2?(t?bn)n?bn?0（t?R,n?N*）.
2（1）求数列?an?的通项公式；
（2）试确定t的值，使得数列?bn?为等差数列；
（3）当?bn?为等差数列时，对任意正整数k，在ak与ak?1之间插入2共bk个，得到一
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