t曲边梯形的面积为：s??f(x)dx，则由题可知
1ttttV??ts???f(x)2dx??t?f(x)dx??f(x)2dx?t?f(x)dx
1111tt两边对t求导可得f(t)2??f(x)dx?tf(t)?f(t)2?tf(t)??f(x)dx
11继续求导可得2f(t)f'(t)?f(t)?tf'(t)?f(t)，化简可得
1?2dt1(2f(t)?t)f(t)?2f(t)??t?1，解之得t?c?y2?y
3dy2y'在式中令t?1，则f(1)?f(1)?0,2f(t)?0,?f(1)?1，代入t?cy?12?2y得3111c?,?t?(?2y).
33y所以该曲线方程为：2y?
（20）（本题满分11 分）
1?3x?0. y?1?1?1???1????1?,?1??1设A=??11??. ?0?4?2???2?????（Ⅰ）求满足A?2??1，A2?3??1的所有向量?2，?3. （Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量?2,?3，证明?1,?2,?3线性无关. 【解析】（Ⅰ）解方程A?2??1
?1?1?1?1??1?1?1?1??1?1?1?1???????1111?0000?0211?A,?1????????? ?0?4?2?2??0211??0000??????? r(A)?2故有一个自由变量，令x3?2，由Ax?0解得，x2??1,x1?1 求特解，令x1?x2?0，得x3?1
?1??0????? 故?2?k1??1???0? ，其中k1为任意常数
?2??1?????解方程A2?3??1
?220???A2???2?20?
?440????1??11020?1???22?????2?201?0000?A2,?1???? ????4??40?2????0000???故有两个自由变量，令x2??1,x3?0，由A2x?0得x1?1 令x2?0,x3??1，由A2x?0得x1?0
?1???2???求得特解?2??0?
?0??????1???1??0??2???故 ?3?k2??1??k3?0???0? ，其中k2,k3为任意常数
?????0???1??0?????????（Ⅱ）证明：由于
?1k1k2?1?k1?22k1?1111?k2?2k1k2?(2k1?1)(k2?)?2k1(k2?)?k2(2k1?1)??0
222012故?1,?2,?3 线性无关.
（21）（本题满分11 分）
设二次型f(x1,x2,x3)?ax12?ax22?(a?1)x32?2x1x3?2x2x3. （Ⅰ）求二次型f的矩阵的所有特征值.
（Ⅱ）若二次型f的规范形为y12?y12，求a的值.
1??a0???1? 【解析】（Ⅰ） A??0a?1?1a?1?????a|?E?A|?0?10??a1??a10??a 1?(??a)?1??a?1?11??a?1?1?(??a)[(??a)(??a?1)?1]?[0?(??a)]?(??a)[(??a)(??a?1)?2]?(??a)[?2?2a????a2?a?2]19?(??a){[a??(1?2a)]2?}24?(??a)(??a?2)(??a?1)??1?a,?2?a?2,?3?a?1.
2（Ⅱ） 若规范形为y12?y2，说明有两个特征值为正，一个为0.则
1) 若?1?a?0，则 ?2??2?0 ，?3?1 ，不符题意 2) 若?2?0 ，即a?2，则?1?2?0，?3?3?0，符合
3) 若?3?0 ，即a??1，则?1??1?0 ，?2??3?0，不符题意 综上所述，故a?2
（22）（本题满分11 分）
?e?x设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)???0（Ⅰ）求条件概率密度fYX(yx) （Ⅱ）求条件概率P???X?1Y?1?? 【解析】
0?y?x其他
?e?x0?y?x（Ⅰ）由f(x,y)???????得其边缘密度函数
其它?0?x?x fx(x)??edy?xe????x?0
0x故 fy|x(y|x)?f(x,y)1??????0?y?x fx(x)x?1???????????y?x即 fy|x(y|x)??x
??0???????????????其它（Ⅱ）P[X?1|Y?1]?P[X?1,Y?1]
P[Y?1]1x1000而P[X?1,Y?1]???f(x,y)dxdy??dx?e?xdy??xe?xdx?1?2e?1
x?1y?1??fY(y)??e?xdx??e?x|y???e?y????,y?0 y1???P[Y?1]??e?ydy??e?y|??e?1?1?1?e?1
0011?2e?1e?2???P[X?1|Y?1]??.
1?e?1e?1
（23）（本题满分11分）
袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以X、Y、Z分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数. ①求P??X?1Z?0??.
②求二维随机变量(X,Y)的概率分布.
【解析】（Ⅰ）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球
1C2?24 ?P(X?1Z?0)?11?.
C3?C39（Ⅱ）X，Y取值范围为0，1，2，故
1111C3?C3C2?C311P?X?0,Y?0??11?,P?X?1,Y?0??11?C6?C64C6?C66111C2?C2?C3111P?X?2,Y?0??11?,P?X?0,Y?1???11C6?C636C6?C6311C2?C21P?X?1,Y?1??11?,P?X?2,Y?1??0C6?C6911C2?C21P?X?0,Y?2??11?C6?C69
P?X?1,Y?2??0,P?X?2,Y?2??0 X Y 0 1 2
1/4 1/3 1/9 1/6 1/9 0 1/36 0 0 0 1 2
2009考研数学三[解析版][无水印]
