1?[P(XY?zY?0)?P(XY?zY?1)]2 1?[P(X?0?zY?0)?P(X?zY?1)]2X,Y独立
1?FZ(z)?[P(x?0?z)?P(x?z)]
2（1）若z?0，则FZ(z)?（2）当z?0，则FZ(z)?1?(z) 21(1??(z)) 2?z?0为间断点，故选(B).
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）lime?ecosx1?x?12x?03? . 【答案】e.
3212e?xe?ee(1?e)3e(1?cosx)2【解析】lim?lim?e. ?lim?limx?03x?012x?01221?x2?1x?031?x2?1xx33cosxcosx?1（10）设z?(x?ey)x，则【答案】2ln2?1. 【解析】由z?x?e?z? . ?x(1,0)?yx?，故z?x,0???x?1?
xdz?x?x'xln(1?x)'xln(1?x)?? ????x?1???e?eln(1?x)??????dx1?x??代入x?1得，
?z?x?1,0?1???eln2?ln2???2ln2?1.
2??en?(?1)nn（11）幂级数?x的收敛半径为 . 2nn?1?
【答案】
1. enen???1?【解析】由题意知，an??0
n2an?1e?ann?1???1?2n?1?n?1??n2en???1?n??1?n?1?e?1?????2?e??n????e(n??)?? 2n?n?1?en?1???1??????e??????n?1所以，该幂级数的收敛半径为
1 e（12）设某产品的需求函数为Q?Q(P),其对应价格P的弹性?p?0.2，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元. 【答案】8000.
【解析】所求即为?QP???Q?P?Q 因为?p?Q?P??0.2，所以Q?P??0.2Q Q所以?QP????0.2Q?Q?0.8Q 将Q?10000代入有?QP???8000.
?300???（13）设??(1,1,1)T,??(1,0,k)T，若矩阵??T相似于?000?，则k? . ?000???【答案】2.
?300???【解析】??T相似于000，根据相似矩阵有相同的特征值，得到??T的特征值????000??为
3，0，0.而?T?为矩阵??T的对角元素之和，?1?k?3?0?0，?k?2.
(14)设X1，X2,…,Xn为来自二项分布总体B(n,p)的简单随机样本，X和S分别
2为样本均值和样本方差，记统计量T?X?S，则ET? . 2【答案】np2
【解析】由ET?E(X?S2)?EX?ES2?np?np(1?p)?np2.
三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分9分）
求二元函数f(x,y)?x22?y2?ylny的极值.
【解析】fx?(x,y)?2x(2?y2)?0，fy?(x,y)?2x2y?lny?1?0，故x?0,?y???1. e???2(2?y2),?fyy???2x2?fxx则fxx??1???4xy. ,?fxyy1(0,)e1(0,)e?2(2?1??)，fxy2e???0，fyy1(0,)e?e.
??)2?fxx??fyy???0 ???0而(fxyfxx?二元函数存在极小值f(0,)??.
1e1e
（16）（本题满分10 分） 计算不定积分ln(1??1?x)dx (x?0). x【解析】令1?x1?2tdt ?t得x?2,?dx?2xt?1(t?1)21?x1)dx??ln(1?t)d2xt?1
ln(1?t)11?2??2dtt?1t?1t?1?ln(1?而
111112dt?(???t2?1t?14?t?1t?1(t?1)2)dt
111ln(t?1)?ln(t?1)?2?C44t?1所以
?ln(1?1?xln(1?t)1t?11)dx?2?ln??Cxt?14t?12(t?1)1?x11x)?ln(1?x?x)??C.x221?x?x
?xln(1?
（17）（本题满分10 分）
计算二重积分??(x?y)dxdy，其中D?{(x,y)(x?1)2?(y?1)2?2,y?x}.
D【解析】由(x?1)2?(y?1)2?2得r?2(sin??cos?)，
3?2(sin??cos?)4???(x?y)dxdy??d??(rcos??rsin?)rdr
?0D43?4?132(sin??cos?)????(cos??sin?)?r?d? ??30?43?48??(cos??sin?)?(sin??cos?)?(sin??cos?)2d?
?343?84??(cos??sin?)?(sin??cos?)3d? ?343?8481??(sin??cos?)3d(sin??cos?)??(sin??cos?)43?344
3?44?8??.
3
（18）（本题满分11 分）
（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数f(x)在?a,b?上连续，在?a,b?上可导，则
???a,b?，得证f(b)?f(a)?f'(?)?b?a?.
（Ⅱ）证明：若函数f(x)在x?0处连续，在?0,??,(??0)内可导，且
x?0'''，则存在，且. f(0)flimf(x)?A??(0)?A?【解析】（Ⅰ）作辅助函数?(x)?f(x)?f(a)?足：
f(b)?f(a)(x?a)，易验证?(x)满
b?a?(a)??(b)；?(x)在闭区间?a,b?上连续，在开区间?a,b?内可导，且
f(b)?f(a). ?'(x)?f'(x)?b?a根据罗尔定理，可得在?a,b?内至少有一点?，使?'(?)?0，即
f'(?)?f(b)?f(a)?0,?f(b)?f(a)?f'(?)(b?a)
b?a（Ⅱ）任取x0?(0,?)，则函数f(x)满足：在闭区间?0,x0?上连续，开区间?0,x0?内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在?x0??0,x0???0,??，使得
f'?x0???f(x0)?f(0)……?*?
x0?0'?又由于lim，对上式（*式）两边取时的极限可得： x?0fx?A??0?x?0f?'?0??lim?x0?0f(x0)?f?0??lim?f'(?x0)?lim?f'(?x0)?A x0?0?x0?0x0?0故f?'(0)存在，且f?'(0)?A.
（19）（本题满分10 分）
设曲线y?f(x)，其中f(x)是可导函数，且f(x)?0.已知曲线y?f(x)与直线
y?0,x?1及x?t(t?1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的?t倍，求该曲线的方程.
tt【解析】旋转体的体积为V???f(x)2dx???f(x)2dx
11
2009考研数学三[解析版][无水印]
