2020年全国高中数学联赛试题及详细解析
说明：
1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其
他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。
2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当
划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1．使关于x的不等式x?3?6?x?k有解的实数k的最大值是（ ） A．6?3 B．3 C．6?3 D．6
2．空间四点A、B、C、D满足|AB|?3,|BC|?7,|CD|?11,|DA|?9,则AC?BD的取值（ ）
A．只有一个 B．有二个 C．有四个 D．有无穷多个
6.记集合T?{0,1,2,3,4,5,6},M?{a1a2a3a4???|ai?T,i?1,2,3,4},将M中的元素按从大到小的7727374顺序排列，则第2020个数是（ ）
55635562?2?3?4 B．?2?3?4 7777777711041103C．?2?3?4 D．?2?3?4
77777777A．
二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。 7.将关于x的多项式f(x)?1?x?x?x???x2319?x20表为关于y的多项式g(y)?
a0?a1y?a2y2???a19y19?a20y20,其中y?x?4.则a0?a1???a20? .
8.已知f(x)是定义在(0,??)上的减函数，若f(2a?a?1)?f(3a?4a?1)成立，则a的取值范围是 。
2212.如果自然数a的各位数字之和等于7，那么称a为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列
a1,a2,a3,?,若an?2005,则a5n? .
三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13.数列{an}满足：a0?1,an?1?27an?45an?362,n?N.
证明：（1）对任意n?N,an为正整数；(2)对任意n?N,anan?1?1为完全平方数。
14.将编号为1,2，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球.
设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要S.求使S达到最小值的放法的概率.（注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法）
15.过抛物线y?x上的一点A（1,1）作抛物线的切线，分别交x轴于D，交y轴于B.点C在抛物线
2上，点E在线段AC上，满足
AEBF??1;点F在线段BC上，满足??2，且?1??2?1，线段CD与EFECFC交于点P.当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程.
2020年全国高中数学联赛试题（二）及参考答案
二、（本题满分50分）
设正数a、b、c、x、y、z满足cy?bz?a,az?cx?b;bx?ay?c.
x2y2z2??求函数f(x,y,z)?的最小值. 1?x1?y1?z三、（本题满分50分）
当n为平方数,?0?对每个正整数n，定义函数f(n)??1
[]当n不为平方数.?{n}?（其中[x]表示不超过x的最大整数，{x}?x?[x]). 试求：
?f(k)的值.
k?1240
2020年全国高中数学联赛解答
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1．使关于x的不等式x?3?6?x?k有解的实数k的最大值是（ ） A．6?3 B．3 C．6?3 D．6
2．空间四点A、B、C、D满足|AB|?3,|BC|?7,|CD|?11,|DA|?9,则AC?BD的取值（ ）
A．只有一个 B．有二个 C．有四个 D．有无穷多个 【答案】A
?22【解析】注意到3?11?1130?7?9,由于AB?BC?CD?DA?0,则DA?DA=
2222(AB?BC?CD)2?AB2?BC2?CD2?2(AB?BC?BC?CD?CD?AB)?AB2? BC2?CD2?2(BC?AB?BC?BC?CD?CD?AB)?AB2?BC2?CD2?2(AB?
2BC)?(BC?CD),即2AC?BD?AD2?BC2?AB2?CD2?0,?AC?BD只有一个值得0，故选A。
3．?ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于A1、B1、C1。则
AA1?cosABC?BB1?cos?CC1?cos222的值为（ ） sinA?sinB?sinCA．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A
【解析】如图，连BA1，则AA1?2sin(B?AA?B?CBC)?2sin(??) 2222?2cos(BC?). 22?AA1cosABCAA?B?CA?C?B???2cos(?)cos?cos?cos?cos(?C)?cos(?B)22222222BCA?sinC?sinB,同理BB1cos?sinA?sinC,CC1cos?sinA?sinB,?AA1cos?BB1?222BC2(sinA?sinB?sinC)cos?CC1cos?2(sinA?sinB?sinC),?原式??2.选A.22sinA?sinB?sinC
5.方程
x2sin2?sin3?y2cos2?cos3?1表示的曲线是（ ）
A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线 【答案】C 【解析】?2?3??,?0??2?2?3??2??,?cos(?2)?cos(3?),即 222??sin2?sin3.
又0?圆。
2???,?3??,?cos2?0,cos3?0,?cos2?cos3?0,方程表示的曲线是椭
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2020年全国高中数学联赛试题及详细解析
