，
则
故答案为：．
求出函数的导数，结合数列求和即可得到结论．
本题主要考查导数的计算以及数列的求和，综合性较强．
，
15.答案：
解析：解：设球O的半径为R，则如下图所示，
，得，
分别取PA、AB、BC的中点M、N、E，连接MN、NE、ME、AE， 易知，
平面ABC，
，
为BC的中点，则
、N分别为PA、AB的中点，则同理可得
，且
，
或其补角，且，
，
．
．
，
， ，且
，
，
，
所以，异面直线PB与AC所成的角为在
中，
，
由余弦定理得
因此，异面直线PB与AC所成成的余弦值为故答案为：
．
作出图形，分别取PA、AB、BC的中点M、N、E，连接MN、NE、ME、AE，利用中
位线的性质并结合异面直线所成角的定义得出异面直线PB与AC所成的角为或其补角，并计算出各边边长，利用余弦定理计算出，即可得出答案．
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本题考查球体体积，考查异面直线的定义，同时也考查了余弦定理，考查计算能力与推理能力，属于中等题．
16.答案：
解析：解：不妨设则故在点化简得故直线
，处的切线方程为
，与的方程为
在第二象限， ，
，
联立得
，即
，
，
由，得，
即，
所以故数列所以联立得
， 是以
为首项，为公比的等比数列， ，由
，
，
所以
故故答案为：不妨设直线
．
．
在第二象限，求出点
处的切线方程为
是以
，
为首项，为公比的
的方程，联立解方程组，得到数列
等比数列，求出，最后求出．
本题考查导数法求切线方程，等比数列的通项公式，前n项和，难度较大，综合性高．
17.答案：解：Ⅰ
，，
，，
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，
，
；
Ⅱ由正弦定理，得
，
即，
，
又
，
，
由上两式解得：由
，
，
得：
．
，
解析：本题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键． Ⅰ由为三角形BAD中的角，根据的值，利用同角三角函数间的基本关系求出
的值，进而利用二倍角的正弦函数公式求出与的值，即为
与
的值，sinC变形为
，利用诱导公式，以及两角和与差
的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出sinC的值； Ⅱ利用正弦定理列出关系式，将sinC与
的值代入得出
，
利用平面向量的数量积运算法则化简已知等式左边，将表示出的AB代入求出BC的长，再利用正弦定理即可求出AC的长．
平面PCD且18.答案：解：证明：
平面PCD，．
，
，E为AD的中点，
，
四边形BCDE为平行四边形，
． 又
，
，且E为
AD的中点，
四边形ABCE为正方形，． 又，且AP、AC均在平面APC，
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平面APC且平面APC，则． 平面PCD，，又， 为等腰直角三角形，O为斜边AC上的中点， ，又且AC、BE均在平面ABCD，平面ABCD．
解：以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示．
0，，1，，0，，1，， 设，则则
，
，，
．
设平面PBD的法向量为则
即
令，得．
设BC与平面PBD所成角为， 则
．
解析：本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
推导出平面PCD，从而四边形BCDE为平行四边形，进而
，推导出四边形ABCE为正方形，从而进而平
面APC，则，又平面PCD，进而，，由此能证明平面ABCD．
以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，推导出平面PBD的法向量，由此能求出BC与平面PBD的正弦值．
，，则 19.答案：解：由题意，设
，
，
由
点N是曲线
，
整理，得．
点C的轨迹方程为． 假设存在点，使得
根据题意，易知直线l的倾斜角不可能为将代入得设，，则
，．
，则
，即
上的任意一点，即
，
．
，则有．
，故可设直线l的方程为
．
，
，
． ，解得
即．
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故存在点
解析：本题第
，使得．
题先设出C，N点的坐标，根据向量的坐标运算得出
，根据题意可得出
然后代入曲线
即可得到点C的轨迹方程；第
，即题可用假设
法，先假设存在点，然后根据题意列出关系式，利用根与系数的关系，通过计
算可得t的值，即可得到D的坐标．
本题主要考查向量坐标计算能力，解析几何计算能力，数学推理能力．本题属中档题．
为定值， 20.答案：解：Ⅰ任务不能被完成的概率为
所以任务能被完成的概率与三个人被排除的顺序无关． 任务能被完成的概率为 Ⅱ的取值为1，2，3
Ⅲ， 2
若交换前两个人的派出顺序，则变为， 2由此可见，当时，交换前两个人的派出顺序可增大均值； 若保持第一人派出的人选不变，交换后个人的派出顺序， EX可写为，交换后个人的派出顺序则变为， 当时交换后个人的派出顺序可增大均值 故完成任务概率大的人先派出，
可使所需派出的人员数目的均值数学期望达到最小．
解析：Ⅰ可先考虑任务不能被完成的概率为为定值，故任务能被完成的概率为定值，通过对立事件求概率即可． Ⅱ的取值为1，2，3，利用独立事件的概率分别求出概率，再求期望即可． Ⅲ由Ⅱ中得到的关系式，考虑交换顺序后EX的变化情况即可．
本题考查对立事件、独立事件的概率、离散型随机变量的分布列和方差等知识，以及利用概率知识解决实际问题的能力．
21.答案：解：
，
， ，
当
在由由
知，
在， 时，
，
，
上单调递增．
知，
上单调递增，且
可知当
，
时，
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2019-2020学年江西省南昌市四校联盟高三(下)第二次联考数学试卷(理科)(3月份)(含答案解析)
