第一章集合与常用逻辑用语
1.1集合
1.1.2集合的基本关系 考点1子集、真子集
1.已知集合P和Q的关系如图1-1-2-1所示,则( )。
图1-1-2-1
A.P>Q B.Q?P C.P=Q D.P?Q 答案：B
解析：根据集合间的包含关系可得。
2.(2019·广西南宁一中高一月考)已知集合A={x|x是三角形},B={x|x是等腰三角形},C={x|x是等腰直角三角形},D={x|x是等边三角形},则( )。 A.A?B B.C?B C.D?C D.A?D 答案：B
解析：∵等腰直角三角形必为等腰三角形,∴C?B。
3.(2018·佛山高明区一中月考)已知集合M?{4,7,8},且M中至多有一个偶数,则这样的集合共有( )。
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 答案：D
解析：由题意知M可以是?,{7},{4,7},{7,8},{4},{8},共6个。
4.(2019·河南豫西南部分示范性高中期中)若集合A={x|x≥1},则满足B?A的集合B可以是( )。
A.{2,3} B.{x|x≤2} C.{0,1,2} D.{x|x≥0} 答案：A
解析：因为集合A={x|x≥1},且B?A,所以集合B可以是集合{2,3}。
5.已知非空集合A满足:①A?{1,2,3,4};②若x∈A,则5-x∈A。则满足上述要求的集合A的个数为 。 答案：3
解析：由题意知,满足题中要求的集合A可以是{1,4},{2,3},{1,2,3,4},共3个。 6.满足{1}?A?{1,2,3}的集合A的个数是( )。 A.0 B.1 C.2 D.3 答案：D
解析：∵{1}?A,∴A中至少有两个元素,且1∈A。又A?{1,2,3},∴A中还可以有2或3,即A可以是{1,2},{1,3},{1,2,3},共3个。
7.(2018·山东郓城一中高一月考)已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集及真子集。
答案：解:∵A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N}, ∴A={(0,2),(1,1),(2,0)}。
∴A的子集为
?,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}。 A的真子集为
?,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)}。 考点2集合相等与空集
8.(2019·北京朝阳区高一期中)下列集
2
合:①{0};②{?};③{x|3m A.①② B.②⑤ C.④⑤ D.③④⑤ 答案：C 解析：①和②是常见的空集的错误表示方法;对于③,不要误认为3m>m而断定{x|3m 9.(2019·重庆南开中学期中考试)下列关系不正确的是( )。 A.??{0} B.?∈{?} C.??{?} D.0?{0} 答案：D 解析：“0”是一个元素,“?”表示两个集合之间的关系,故D中关系不正确。显然选项A,B,C中关系均正确。 10.(2018·广东实验中学期末)下列各组中的两个集合相等的是( )。 ①P={x|x=2n,n∈Z},Q={x|x=2(n-1),n∈Z}; **②P={x|x=2n-1,n∈N},Q={x|x=2n+1,n∈N}; ③P={x|x-x=0},Q={x|x= 2 1+(-1) 2 ?? ,n∈Z}。 A.①②③ B.①③ C.②③ D.①② 答案：B 解析：①中,对于Q,因为n∈Z,所以n-1∈Z,所以Q表示偶数集,所以P=Q;②中,P是所有正奇数组成的集合,Q是所有大于1的正奇数组成的集合,故P≠Q;③中,P={0,1},在Q中,当n为奇数时,x= 1+(-1) 2 ?? =0,当n为偶数时,x= 2 1+(-1) 2 ?? =1,即Q={0,1},故P=Q。 11.已知M={2,a,b},N={2a,2,b},且M=N,求a,b的值。 答案：解:根据集合中元素的互异性, 2 ??=2??,??=??,有{或{ ??=??2??=2??。??=4,??=0,??=0,解方程组,得{或{或{ 1??=0??=1??=。 21 ??=0,由集合中元素的互异性知{不合题意, ??=0??=4,??=0, 故{或{ 1??=1??=2。考点3集合间关系的判断 1 12.已知集合A=[3,+∞),B={x|2x-5≥0},则这两个集合的关系是 。 答案：A?B 解析：A=[3,+∞)={x|x≥3}, B={x|2x-5≥0}={??|??≥2}。 结合数轴知A?B。 13.(2018·衡水枣强中学检测)设M={菱形},N={平行四边形},P={四边形},Q={正方形},则这些集合之间的关系为( )。 A.P?N?M?Q B.Q?M?N?P C.P?M?N?Q D.Q?N?M?P 答案：B 解析：∵有一个角是直角的菱形是正方形,∴正方形应是菱形的一部分,又菱形是平行四边形的一部分,平行四边形是四边形的一部分,∴它们之间的关系是Q?M?N?P。 14.(2019·山东曲阜二中高一检测)已知集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0},P={(x,y)|x<0,y<0},那么( )。 A.P?M B.M?P C.M=P D.M≠P 答案：C ??+??<0,??<0, 解析：∵{∴{∴M=P。 ????>0,??<0。15.(2019·衡水枣强中学检测)判断下列两个集合间的关系: (1)若A={1,2,4},B={x|x是8的约数},则A B; (2)若A={x|x=3k,k∈N},B={x|x=6m,m∈N},则A B; **(3)若A={x|x是4与10的公倍数,x∈N},B={x|x=20m,m∈N},则A B。 答案：? ? = 解析：(1)中,由A={1,2,4},B={x|x是8的约数}={1,2,4,8}得集合A中元素均为B中元素,故A?B;(2)中,因为A={x|x=3k,k∈N},B={x|x=6m,m∈N}={x|x=2·3m,m∈N},且一个数是6的倍数,则一定是3的倍数,但是3的倍数,却不一定是6的倍数,故B?A;(3)中,A={x|x是4 ***与10的公倍数,x∈N}={x|x=20n,n∈N},B={x|x=20m,m∈N},所以A=B。 16.(2018·长沙第一中学高一期中)集合M={x|x=5k-2,k∈Z},P={x|x=5n+3,n∈Z},S={x|x=10m+3,m∈Z}之间的关系是( )。 A.S?P?MB.S=P?M C.S?P=M D.P=M?S 答案：C 解析：∵M={x|x=5k-2,k∈Z},P={x|x=5n+3,n∈Z},S={x|x=10m+3,m∈ Z},∴M={…,-7,-2,3,8,13,18,…},P={…,-7,-2,3,8,13,18,…},S={…,-7,3,13,23,…},∴S?P=M,故选C。 【易错点拨】判断两集合的关系,要认真观察两集合的元素的差异,并根据子集、真子集的定义作出判断。 考点4集合间关系的应用 17.(2019·永州高一期末)已知集合A={x|0 解析：因为B={??|-2 1 1 5 18.已知集合A=[1,2],B={x|1≤x≤a,a≥1}。 (1)若A?B,求a的取值范围; 答案：若A?B,由图(1)可知,a>2。 (1) (2)若B?A,求a的取值范围。 答案：若B?A,由图(2)可知,1≤a≤2。 (2) 222 19.(2018·威海一中高一月考)已知集合A={x|x+4x=0,x∈R},B={x|x+2(a+1)x+a-1=0,x∈R},若B?A,求实数a的取值范围。 2 答案：解:A={x|x+4x=0,x∈R}={0,-4}, 因为B?A,所以B=A或B?A。 当B=A时,B={-4,0}, 22 即-4,0是方程x+2(a+1)x+a-1=0的两个根,代入易得a=1,此时满足条件,即a=1符合题意。 当B?A时,分两种情况: 22 若B=?,则Δ=4(a+1)-4(a-1)<0,解得a<-1。 22 若B≠?,则方程x+2(a+1)x+a-1=0有两个相等的实数根, 22 所以Δ=4(a+1)-4(a-1)=0,解得a=-1, 此时B={0},符合题意。 综上所述,实数a的取值范围是{a|a≤-1或a=1}。 20.(2019·茂名高三五大联盟学校联考)已知集合A={x|2a-3 答案：因为A?B,所以可以分A=?和A≠?两种情况来讨论:当A=?时,2a-3≥3a+1,解得a2??-3≥-5, ≤-4。当A≠?时,得{3??+1≤4,解得-1≤a≤1。综上,a的取值范围是a≤-4或-1≤a2??-3<3??+1,≤1。 (2)是否存在实数a,使得A=B?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由。 2??-3=-5, 答案：若存在实数a,使A=B,则必有{此方程组无解。故不存在实数a,使得A=B。 3??+1=4,21.(2019·辽宁育才中学高一月考)已知A={x|-1 1-??<-1, 答案：∵A={x|-1 3≤1+??1-??≤-1,或{解得a>2, 3<1+??, ∴实数a的取值范围是a>2。 解析：【易错点拨】忽略端点值的取舍。利用集合包含关系求参数问题,一般先通过解不等式或方程求出集合,落实两个集合后,在数轴上画出满足条件的集合A,B,根据集合A是集合B的子集(或真子集),列出符合要求的不等式(组),注意判断端点能否取等号,解不等式(组),求出参数的取值范围。 (2)若B?A,求实数a的取值范围。 答案：①当B=?时,a≤0,满足B?A。 ②当B≠?时,a>0, ∵A={x|-1 3>1+??,3≥1+?? ∴0 综上所述,实数a的取值范围是a<2。 解析：【易错点拨】忽略端点值的取舍。利用集合包含关系求参数问题,一般先通过解不等式或方程求出集合,落实两个集合后,在数轴上画出满足条件的集合A,B,根据集合A是集合B的子集(或真子集),列出符合要求的不等式(组),注意判断端点能否取等号,解不等式(组),求出参数的取值范围。
新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.2集合的基本关系一课一练(含解析)人教B版必修一
