函数的概念、表示法与定义域
一、映射与函数: (1)映射的概念: (2)一一映射: (3)函数的概念:
二、函数的三要素:定义域,值域,对应法则。
相同函数的判断方法:①定义域相同;②对应法则一样 (两点必须同时具备) (1)函数解析式的求法:
①定义法(拼凑): ②换元法: ③待定系数法: ④赋值法: (2)函数定义域的求法:
①y?f(x),则g(x)?0; ②y?2nf(x)(n?N*)则f(x)?0; g(x)③y?[f(x)]0,则f(x)?0; ④如:y?logf(x)g(x),则⑤含参问题的定义域要分类讨论;
?g(x)?00?f(x)?1或f(x)?1;
⑥对于实际问题,在求出函数解析式后;必须求出其定义域,此时的定义域要根据实际意义来确定。
(3)函数的表示法:解析法、列表法与图象法。
(4)分段函数:一个函数的定义域分成了若干个子区间,而每个子区间的解析式不同。 三.练习题:
1. 已知集合M={1,2,3,m},N?{4,7,n4,n2?3n},m,n?N*,映射f:y?3x?1是从M到N的一个函数,则m?n的值为(B)
A.2 B.3 C.4 D.5 2.下列对应关系是集合P上的函数是有 2 .
*(1)P?Z,Q?N,对应关系f:“对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应”; 2(2)P?{?1,1,?2,2},Q?{1,4},对应关系:f:x→y?x,x?P,y?Q;
(3)P?{三角形},Q?{x|x?0},对应关系f:“对P中三角形求面积与集合Q中元素对应.”
3.M?{x|0?x?2},N?{y|0?y?3}给出下列四个图形,其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有( C )
A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个
y 2 1 O y 2 1 1 2 x O y 3 2 1 1 2 x O y 2 1
1 2 x O 1 2 x
4.若函数y?f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)?f(2x)的定义域是(B ) x?1A.[0,1] B.[0,1) C. [0,1)?(1,4] D.(0,1) 5.下列各组函数中,表示同一函数的是 A.y?1,y?
( C )
x B.y?x?1?x?1,y?x2?1 xC .y?x,y?3x3 D. y?|x|,y?(x)2
2? x≤1,?1?x,6.设函数f(x)??2则
??x?x?2,x?1,?1?f??的值为( A ) ?f(2)?D.18
A.
15 16
B.?27 162C.
8 97.(1)函数y?x?4?x?lg?x?3?的定义域.答:[0,2)?(2,3)?(3,4));
(2)若函数y?kx?7?3?k?的定义域为R,则_______(答:?0,4?); kx2?4kx?3??b??a?0,[a,?a]);(3)函数f(x)的定义域是[a,b],则函数F(x)?f(x)?f(?x)的定义域是(答:
(4)若函数y?f(x)的定义域为?,2?,则f(log2?1???2(答:x|2?x?4); x)的定义域为__________
??2(5)若函数f(x?1)的定义域为[?2,1),则函数f(x)的定义域为________(答:[1,5]).
8.求下列函数的值域:
(1)y?3x?x?2;(2)y??x2?6x?5;(3)y?23x?1; x?2解:(1)(配方法)?y?3x?x?2?3(x?)?∴y?3x2?x?2的值域为[21622323?, 121223,??)。 12改题:求函数y?3x2?x?2,x?[1,3]的值域。
解:(利用函数的单调性)函数y?3x2?x?2在x?[1,3]上单调增, ∴当x?1时,原函数有最小值为4;当x?3时,原函数有最大值为26。 ∴函数y?3x2?x?2,x?[1,3]的值域为[4,26]。 (2)求复合函数的值域:
设???x2?6x?5(??0),则原函数可化为y?又∵???x2?6x?5??(x?3)2?4?4, ∴0???4,故?。
??[0,2],
∴y??x2?6x?5的值域为[0,2]。 (3)(法一)反函数法: y?3x?12x?1的反函数为y?,其定义域为{x?R|x?3},
x?3x?2∴原函数y?3x?1的值域为{y?R|y?3}。 x?23x?13(x?2)?77, ??3?x?2x?2x?2(法二)分离变量法:y?∵
77?0,∴3??3, x?2x?23x?1的值域为{y?R|y?3}。 x?21129.(1)已知f(x?)?x?2,求f(x);
xx2(2)已知f(?1)?lgx,求f(x);
x∴函数y?(3)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x?1)?2f(x?1)?2x?17,求f(x); (4)已知f(x)满足2f(x)?f()?3x,求f(x)。
(5)已知函数y=x+x与y=g(x)关于点(-2,3)对称,求g(x)的解析式
21x解:(1)∵f(x?)?x?1x2112?(x?)?2, x2x∴f(x)?x2?2(x?2或x??2)。
22?1?t(t?1),则x?, xt?122 (x?1)。 ∴f(t)?lg,f(x)?lgt?1x?1(2)令
(3)设f(x)?ax?b(a?0),
则3f(x?1)?2f(x?1)?3ax?3a?3b?2ax?2a?2b?ax?b?5a?2x?17, ∴a?2,b?7, ∴f(x)?2x?7。
(4)2f(x)?f()?3x ①,
1x113,得2f()?f(x)? ②, xxx3①?2?②得3f(x)?6x?,
x1∴f(x)?2x?。
x2?x?1)?(x?1).(10. (1)设函数f(x)??,则使得f(x)?1的自变量x的取值范围是
??4?x?1.(x?1)(x?0)?1 ][0,10__________(答:(??,?2?);(2)已知f(x)??,则不等式
?1 (x?0)?3x?(x?2)f(x?2)?5的解集是________(答:(??,])
2把①中的x换成
11.(1)设函数f(x)??(x?100)?x?3,求f(89).
?f[f(x?5)](x?100)?2?x,x?(??,1]1(2)设函数f(x)=?,则满足f(x)=的x值为 。
4?log81,x?(1,??)解:(1)这是分段函数与复合函数式的变换问题,需要反复进行数值代换,
f(89)?f(f(94))?f(f(f(99)))?f(f(f(f(104))))?f(f(f(101))) )))?f(f(100))?f(97)?f(f(102))?f(99) =f(f(98))?f(f(f(103 =f(f(104))?f(101)?98.
(2)当x∈(-∞,1],值域应为[
1,+∞], 2当x∈(1,+∞)时值域应为(0,+∞), ∴y=
1,y∈(0,+∞), 41∴此时x∈(1,+∞),
1∴log81x=,x=814=3。
412. 对于抛物线线y2?4x上的每一个点Q,点P?a,0?都满足PQ?a,则a的取值范围B
A.???,0? B.???,2? C.?0,2? D.?0,2?
巩固练习: 13.函数f(x)=
133x21?x +lg(3x+1)的定义域是 ( C )
1313A.(-∞,-) B.(-,) C.(-,1)
13 D.(-,+∞)
1314.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2,则f(-3)等于(C ) A.2 B.3 C.6 D.9 15.已知函数?(x)=f(x)+g(x),其中f(x)是x的正比例函数,g(x)是x的反比例函数,且?()=16,
?(1)=8,则?(x)= 3x+5 x13?1,x?0?1?x16.若函数f(x)?? 则不等式|f(x)|?的解集为________??3,1?.____.
3?(1)x,x?0??3本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.
?x?01? (1)由|f(x)|???11??3?x?0.
3???x3
(一)函数概念及三要素(答案)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)