函数的概念、表示法与定义域
一、映射与函数： （1）映射的概念： （2）一一映射： （3）函数的概念：
二、函数的三要素：定义域，值域，对应法则。
相同函数的判断方法：①定义域相同；②对应法则一样 (两点必须同时具备) （1）函数解析式的求法：
①定义法（拼凑）： ②换元法： ③待定系数法： ④赋值法： （2）函数定义域的求法：
①y?f(x)，则g（x）?0； ②y?2nf(x)(n?N*)则f（x）?0； g(x)③y?[f(x)]0，则f（x）?0； ④如：y?logf(x)g(x)，则⑤含参问题的定义域要分类讨论；
?g(x)?00?f(x)?1或f(x)?1；
⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。
（3）函数的表示法：解析法、列表法与图象法。
（4）分段函数：一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同。 三.练习题:
1. 已知集合M＝｛1,2,3,m｝，N?{4,7,n4,n2?3n}，m,n?N*，映射f:y?3x?1是从M到N的一个函数，则m?n的值为(B)
A．2 B．3 C．4 D．5 2．下列对应关系是集合P上的函数是有 2 ．
*（1）P?Z,Q?N，对应关系f:“对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应”； 2（2）P?{?1,1,?2,2},Q?{1,4}，对应关系：f:x→y?x,x?P,y?Q；
（3）P?{三角形},Q?{x|x?0}，对应关系f:“对P中三角形求面积与集合Q中元素对应．”
3.M?{x|0?x?2},N?{y|0?y?3}给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（ C ）
A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个
y 2 1 O y 2 1 1 2 x O y 3 2 1 1 2 x O y 2 1
1 2 x O 1 2 x
4.若函数y?f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)?f(2x)的定义域是（B ） x?1A．[0,1] B．[0,1) C． [0,1)?(1,4] D．(0,1) 5.下列各组函数中，表示同一函数的是 A．y?1,y?
（ C ）
x B．y?x?1?x?1,y?x2?1 xC ．y?x,y?3x3 D． y?|x|,y?(x)2
2? x≤1，?1?x，6.设函数f(x)??2则
??x?x?2，x?1，?1?f??的值为（ A ） ?f(2)?D．18
A．
15 16
B．?27 162C．
8 97.（1）函数y?x?4?x?lg?x?3?的定义域.答：[0,2)?(2,3)?(3,4))；
（2）若函数y?kx?7?3?k?的定义域为R，则_______(答：?0,4?)； kx2?4kx?3??b??a?0，[a,?a])；（3）函数f(x)的定义域是[a,b]，则函数F(x)?f(x)?f(?x)的定义域是(答：
（4）若函数y?f(x)的定义域为?,2?，则f(log2?1???2（答：x|2?x?4）； x)的定义域为__________
??2（5）若函数f(x?1)的定义域为[?2,1)，则函数f(x)的定义域为________（答：[1,5]）．
8．求下列函数的值域：
（1）y?3x?x?2；（2）y??x2?6x?5；（3）y?23x?1； x?2解：（1）（配方法）?y?3x?x?2?3(x?)?∴y?3x2?x?2的值域为[21622323?， 121223,??)。 12改题：求函数y?3x2?x?2，x?[1,3]的值域。
解：（利用函数的单调性）函数y?3x2?x?2在x?[1,3]上单调增， ∴当x?1时，原函数有最小值为4；当x?3时，原函数有最大值为26。 ∴函数y?3x2?x?2，x?[1,3]的值域为[4,26]。 （2）求复合函数的值域：
设???x2?6x?5（??0），则原函数可化为y?又∵???x2?6x?5??(x?3)2?4?4， ∴0???4，故?。
??[0,2]，
∴y??x2?6x?5的值域为[0,2]。 （3）（法一）反函数法： y?3x?12x?1的反函数为y?，其定义域为{x?R|x?3}，
x?3x?2∴原函数y?3x?1的值域为{y?R|y?3}。 x?23x?13(x?2)?77， ??3?x?2x?2x?2（法二）分离变量法：y?∵
77?0，∴3??3， x?2x?23x?1的值域为{y?R|y?3}。 x?21129.（1）已知f(x?)?x?2，求f(x)；
xx2（2）已知f(?1)?lgx，求f(x)；
x∴函数y?（3）已知f(x)是一次函数，且满足3f(x?1)?2f(x?1)?2x?17，求f(x)； （4）已知f(x)满足2f(x)?f()?3x，求f(x)。
(5)已知函数y=x+x与y=g（x）关于点（-2，3）对称，求g（x）的解析式
21x解：（1）∵f(x?)?x?1x2112?(x?)?2， x2x∴f(x)?x2?2（x?2或x??2）。
22?1?t（t?1），则x?， xt?122 (x?1)。 ∴f(t)?lg，f(x)?lgt?1x?1（2）令
（3）设f(x)?ax?b(a?0)，
则3f(x?1)?2f(x?1)?3ax?3a?3b?2ax?2a?2b?ax?b?5a?2x?17， ∴a?2，b?7， ∴f(x)?2x?7。
（4）2f(x)?f()?3x ①，
1x113，得2f()?f(x)? ②， xxx3①?2?②得3f(x)?6x?，
x1∴f(x)?2x?。
x2?x?1)?(x?1).(10. （1）设函数f(x)??，则使得f(x)?1的自变量x的取值范围是
??4?x?1.(x?1)(x?0)?1 ][0,10__________（答：(??,?2?）；（2）已知f(x)??，则不等式
?1 (x?0)?3x?(x?2)f(x?2)?5的解集是________（答：(??,]）
2把①中的x换成
11.（1）设函数f(x)??(x?100)?x?3,求f(89).
?f[f(x?5)](x?100)?2?x,x?(??,1]1（2）设函数f（x）＝?，则满足f（x）=的x值为 。
4?log81,x?(1,??)解：（1）这是分段函数与复合函数式的变换问题，需要反复进行数值代换，
f(89)?f(f(94))?f(f(f(99)))?f(f(f(f(104))))?f(f(f(101))) )))?f(f(100))?f(97)?f(f(102))?f(99) =f(f(98))?f(f(f(103 =f(f(104))?f(101)?98.
（2）当x∈（－∞，1]，值域应为［
1，＋∞］， 2当x∈（1，＋∞）时值域应为（0，＋∞）， ∴y＝
1，y∈（0，＋∞）， 41∴此时x∈（1，＋∞），
1∴log81x＝，x＝814＝3。
412. 对于抛物线线y2?4x上的每一个点Q，点P?a,0?都满足PQ?a，则a的取值范围B
A．???,0? B．???,2? C．?0,2? D．?0,2?
巩固练习: 13.函数f(x)=
133x21?x +lg(3x+1)的定义域是 （ C ）
1313A.（-∞,-） B.（-,） C.（-，1）
13 D.（-,+∞）
1314.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2,则f(-3)等于（C ） A.2 B.3 C.6 D.9 15.已知函数?(x)=f(x)+g(x),其中f(x)是x的正比例函数,g(x)是x的反比例函数，且?()=16,
?(1)=8,则?(x)= 3x+5 x13?1,x?0?1?x16.若函数f(x)?? 则不等式|f(x)|?的解集为________??3,1?.____.
3?(1)x,x?0??3本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.
?x?01? （1）由|f(x)|???11??3?x?0.
3???x3
（一）函数概念及三要素（答案）
