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实际问题与二元一次方程组题型归纳
知识点一：列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系. 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.
知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系
1.行程问题：
(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析。其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程；
；
；
(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程。 (3)航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度； ②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度； ③顺水速度－逆水速度＝2×水速。
注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。 2．工程问题：工作效率×工作时间=工作量. 3．商品销售利润问题：
(1)利润＝售价－成本(进价)；(2)；(3)利润＝成本（进价）×利润率；
(4)标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；(5)实际售价＝标价×打折率；
注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。打几折就是按标价
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的十分之几或百分之几十销售。（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十） 4．储蓄问题： (1)基本概念
①本金：顾客存入银行的钱叫做本金。 ②利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。 ③本息和：本金与利息的和叫做本息和。 ④期数：存入银行的时间叫做期数。 ⑤利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。 ⑥利息税：利息的税款叫做利息税。 (2)基本关系式
①利息＝本金×利率×期数
②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金× (1＋利率×期数) ③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率。
④税后利息＝利息× (1－利息税率) ⑤年利率＝月利率×12 ⑥ 注意：免税利息=利息 5．配套问题：
解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。 6．增长率问题：
解这类问题的基本等量关系式是：原量×(1＋增长率)＝增长后的量； 原量×(1－减少率)＝减少后的量. 7．和差倍分问题：
解这类问题的基本等量关系是：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量. 8．数字问题：
。
解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。如当n为整数时，奇数可表示为2n+1(或2n-1)，偶数可表示为2n等，有关两位数的基本等量关系式为：两位数=十位数
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字10+个位数字
9．浓度问题：溶液质量×浓度=溶质质量.
10．几何问题：解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式
11．年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的
12．优化方案问题：
在解决问题时，常常需合理安排。需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。
注意：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案。
知识点三：列二元一次方程组解应用题的一般步骤
利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤：
1．审题:弄清题意及题目中的数量关系；2．设未知数:可直接设元，也可间接设元；
3．找出题目中的等量关系；4．列出方程组:根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程，并组成方程组；5．解所列的方程组，并检验解的正确性；6．写出答案. 要点诠释：
(1)解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得 的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
(3)一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. (4)列方程组解应用题应注意的问题
①弄清各种题型中基本量之间的关系； ②审题时，注意从文字，图表中获得有关信息； ③注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列 方程组与解方程组时，不要带单位；④正确书写速度单位，避免与路程单位混淆； ⑤在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件； ⑥列
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方程组解应用题一定要注意检验。
类型一：列二元一次方程组解决——行程问题
1．甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20
分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？ 思路点拨：画直线型示意图理解题意：
(1)这里有两个未知数：①汽车的行程；②拖拉机的行程. (2)有两个等量关系：
①相向而行：汽车行驶小时的路程＋拖拉机行驶小时的路程＝160千米;
②同向而行：汽车行驶小时的路程＝拖拉机行驶小时的路程.
解：设汽车的速度为每小时行千米，拖拉机的速度为每小时千米.
根据题意，列方程组 解这个方程组，得:
答：汽车行驶了165千米，拖拉机行驶了85千米.
.
总结升华：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略。
【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小
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时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？
【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。
类型二：列二元一次方程组解决——工程问题
2．一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共
3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？
思路点拨：本题有两层含义，各自隐含两个等式，第一层含义：若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；第二层含义：若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元。设甲组单独做一天商店应付x元，乙组单独做一天商店应付y元，由第一层含义可得方程8（x+y）=3520,由第二层含义可得方程6x+12y=3480.
解：(1)设甲组单独做一天商店应付x元，乙组单独做一天商店应付y元，依题意得：
解得
答：甲组单独做一天商店应付300元，乙组单独做一天商店应付140元。
(2)单独请甲组做，需付款300×12＝3600元，单独请乙组做，需付款24×140＝3360元， 故请乙组单独做费用最少。 答：请乙组单独做费用最少。
总结升华：工作效率是单位时间里完成的工作量，同一题目中时间单位必须统一，一般地，将工作总量设为1，也可设为a，需根据题目的特点合理选用；工程问题也经常利用线段图或列表法进行分析。
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教师版-二元一次方程组应用题经典题
