2020 年北京大学强基计划试题
1. ? z 正实数x, y, z ，满足x ? y ? z 和x ? y ? 2?z ? ω? ，则?的最小值等于（
）.
x
A.
y
D.前三个答案都不对
3 4
B. 7 8
C. 1
2. 在?2019 ? 2020?因数个数为（ A. 16
2021
的全体正因数中选出若干个,使得其中任意两个的乘积都不是平方数,则最多可选
） B. 31
C. 32
D.前三个答案都不对
3. 整数列?an ?
（
）
满足a ? 1, a ? 4 ,且对任意m ? 2 有a? a
1
2
n
2
a
? 2n ?1 ,则a
2020
的个位数字是
?n ?1? ?n ?1? ?n?1??
A.8 B.4 C.2 D.前三个答案都不对
a ?1 b ?1 c ?1 d ?1
? ? ? 4. 设 a, b, c, d 是方程 x4 ? 2x3 ? 3x2 ? 4x ? 5 ? 0 的 4 个复根,则 的数值为 a ? 2 b ? 2 c ? 2 d ? 2
（
）
B. -3
C.3
D.前三个答案都不对
A. -4
ABC 的边长为 1,过点 C 作以 AB 为直径的圆的切线交 AB 的延长线于点 D,AD>BD,则5. 设等边三角形
三角形BCD 的面积为（
）
6 2 ? 3 3
A.
16
4 2 ? 3 3 B.
16 3 2 ? 2 3 C.
16
D.前三个答案都不对
? 1 ?
6. 设 x, y, z 均不为?k ? , 其中k 为整数, 已知sin ? y ? z ? x?, sin ? x ? z ? y?, sin ? x ? y ? z ? 成等差 ? 2 ??
? ??
?
数列，则依然成等差数列的是（
）
C. tanx, tany, tanz
D.前三个答案都不对
A. sinx, siny, sinz
B. cosx, cosy, cosz
7. 方程19x ? 93y ? 4xy 的整数解个数为（
A.4
） C.16
D.前三个答案都不对
B.8
x2 2 2 2
8. 从圆 x ? y? 4 上的点向椭圆 C: ? y ? 1 引切线,两个切点间的线段称为切点弦,则椭圆 C 内不与
2
任何切点弦相交的区域面积为（ A.
）
C.
?
2 B.
??3
??4
D.前三个答案都不对
9. 使得5x ?12
xy ? a ? x ? y ? 对所有正实数x, y 都成立的实数a 的最小值为（
B.9
C.10
）
A.8 D.前三个答案都不对
ABCD ? A1B1C1D1 上的一点,则 PA1 ? PC1 的最小值为（ P 为单位立方体 10. 设
）
A. 2 ? 2
B. 2 ? 2 2 C. 2 ?
22
D.前三个答案都不对
a1 ? 1, a2 ? 9 且对任意n ? 1 有 an?2 ? 4an?1 ? 3an ? 20, 其中前n 项和为 Sn ，则 满足 11. 数列?an ? n?1
Sn 的最大值等于（ 函数
A. 28
）
C. 47
D.前三个答案都不对
B. 35
2 y 2 x
12. 设直线 y ? 3x ? m 与椭圆 ? ? 1交于 A,B 两点,O 为坐标原点,则三角形 OAB 面积的最大值为
25 16
（
）
B. 10
C. 12
D.前三个答案都不对
A. 8
k ?1k k ?1
13. 正整数 n ? 3 称为理想的,若存在正整数1 ? k ? n ?1 使得Cn , Cn , Cn 构成等差数列,其中
n!
C??为组合数,则不超过 2020 的理想数个数为（
k !?n ? k ?!
k n
）
D.前三个答案都不对
A. 40 B. 41 C. 42
14.在△ABC 中, ? A ? 150? , D1 , D2 ,?, D2020 依次为边 BC 上的点,且BD1 ? D1D2 ? D2 D3 ? ??
? D2019 D2020 ? D2020 C, 设?BAD1 ? ?1, ?D1 AD2 ? ?2 ,??D2019 AD2020 ? ?2020 ，?D2020 AC ? ?2021 ，
则sin sin ???1 sin sin ?? 3 ??sin sin ???2021
的值为（
）
2
4
2020
A.
1
1010
B.
1 2020
C.
1 2 21
D.前三个答案都不对
15. 函数 f (? ) ? 3 ? 2 3cos? ? cos2 ????5 ? 2 3cos? ? cos2 ? ? 4 sin2 ??的最大值为（
A.
2 ? 3 B. 2 2 ? 3
C.
2 ? 2 3
D.前三个答案都不对
16. 方程
x ? 5 ? 4 x ?1 ? x ? 2 ? 2 x ?1 ? 1 的实根个数为（
）
A.1
B.2
C.3
D.前三个答案都不对
17. 凸五边形 ABCDE 的对角线 CE 分别与对角线 BD 和 AD 交于点 F 和 G,已知BF : FD=5:4 ，AG : GD ? 1:1 , CF : FG : GE ? 2: 2: 3 , S?CFD 和S?ABE 分别为?CFD 和?ABE 的面积,则
S?CFD : S?ABE 的值等于（
）
A. 8:15
B. 2:3
C. 11:23
D.前三个答案都不对
18. 设 p, q 均为不超过
100 的正整数,则有有理根的多项式 f ? x? ? x5 ? px ? q 的个数为（ A. 99
B. 133
C. 150
D.前三个答案都不对
19. 满足对任意n ?1有 a n? 2n ? 3a 且严格递增的数列?a ?的个数为（
）
?A. 0
B. 1
C.无穷多个
D.前三个答案都不对
20. 设函数 f ? x, y, z ? ? x y z ，其中 x, y, z x ? y ? 均为正实数，则有（ y ? z ? ）
z ? x
A. f 既有最大值也有最小值
B. f 有最大值但无最小值
C. f 有最小值但无最大值
D.前三个答案都不对
）
）
2020年北京大学强基计划试题
