一．高考命题类型
1.构造长方体、正方体（长方体、正方体的体对角线即为外接球的直径） 2.几何体放进球中求解 3.内切球的切割法
4.与三视图有关的球的问题 5.折展转问题中的球 6.数学文化中的球的问题
1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，掌握柱、锥的简单几何体性质．
2．了解空间图形的两种不同表示形式(三视图和直观图)，了解三视图、直观图与它们所表示的立体模型之间的内在联系．
3．能画出简单空间图形及实物的三视图与直观图，能识别三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．
4．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图． 2.三视图
空间几何体的三视图由平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括正视、侧视、俯视． 3．空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是： (1)画几何体的底面
在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段在直观图中平行于x′轴、
y′轴；已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．
.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，其表面积为侧面积与底面积之和；
(2)组合体的表面积要注意重合部分的处理；
(3)三棱锥体积的计算用等体积法计算时，三棱锥的顶点和底面是相对的，可以变换顶点和底面，使体
积计算容易；
(4)求空间几何体的体积除利用公式法外，还常用分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算问题的常用方法.
二．高考命题陷阱解读和训练
1.构造长方体、正方体（长方体、正方体的体对角线即为外接球的直径）
例1. 已知三棱锥P?ABC的四个顶点都在同一个球面上， ?BAC?90?， BC?3， PA?23，
PA?平面ABC，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）
A.
16? B. 4? C. 15? D. 16? 3【答案】C
【方法规律总结】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用4R2?a2?b2?c2（a,b,c为三棱的长）；②若SA?面ABC（SA?a），则4R2?4r2?a2（r为?ABC外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.
练习1. 已知在三棱锥S?ABC中， SA?平面ABC， AB?AC， SA?3， AB?AC?2，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. 35? B. 4? C. 9? D. 17? 【答案】D
练习2. 已知长方体的表面积为 A.
B.
C.
中，,则长方体外接球
D.
【答案】C
【解析】∵长方体ABCD?A1B1C1D1中， AB?3，AD?4，AA1?5， ∴长方体的对角线AC1?AB2?AD2?AA12?32?42?52?52，
∵长方体ABCD?A1B1C1D1的各顶点都在同一球面上， ∴球的一条直径为AC1?52， 可得半径R?故选C.
练习3.已知三棱锥P?ABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB?5,BC?接球的体积为（ ） A. π B. 【答案】B
【解析】由题意可知：可将三棱锥放入长方体中考虑，则长方体的外接球即三棱锥的外接球，故球的半径为长方体体对角线的一半，设PA?x，则PB2?PC2?BC2?7 ?5?x2?4?x2?7?x?1，故
525222，（）?50? 因此，该球的表面积为S?4?R?4??227,AC?2，则此三棱锥的外
83821632π C. π D. π 33312?22?3482?PA?1,PB?2,PC?3 ?R??2，得球的体积为?R3?，故选B.
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2.几何体放进球中求解
例2. 已知某几何体的三视图如图所示，正视图是斜边长为2的等腰直角三角形，侧视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
2
A. 18? B. 6? C. 5? D. 4? 【答案】C
【解析】
所以点O即为该几何体的外接球的球心，球半径为
5， 2?5?所以表面积为S?4????2???5?，
??故选C.
【方法规律总结】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心. 练习1.已知SC是球O的直径， A,B是球O球面上的两点，且CA?CB?1,AB?的体积为1，则球O的表面积为（ ） A. 4? B. 13? C. 16? D. 52? 【答案】D
23，若三棱锥S?ABC练习2.已知SC是球O的直径,A,B是球O球面上的两点, ΔABC是边长为3的等边三角形,若三棱锥S-ABC的体积为3,则球O的表面积为
A. 16π B. 18π C. 20π D. 24π 【答案】C
【解析】由题意可知， ΔABC的面积为33 4又∵三棱锥S-ABC的体积为3
∴由三棱锥的体积公式可得点S到平面ABC的距离为4 ∵ΔABC是边长为3的等边三角形 ∴ΔABC的外接圆的半径r=1
根据三角形中位线定理可知，球心到平面ABC的距离是点S到平面ABC的距离的一半，即为2 设球的半径为R，则R=r+2=5 ∴球的表面积S=20π. 故选C
点睛：求多面体的外接球的面积或体积问题是高考常见问题，属于高频考点，有一定的难度.求多面体的外接球的半径的基本方法有三种，第一种：当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，可还原为长方体，长方体的体对角线就是外接圆的直径；第二种：“套球”当棱锥或棱柱是较特殊的形体时，在球内画出棱锥或棱柱，利用底面的外接圆为球小圆，借助底面三角形或四边形求出小圆的半径，再利用勾股定理求出球的半径，第三种：过两个多面体的外心作两个面的垂线，交点即为外接球的球心，再通过关系求半径. 练习3.在体积为
2
2
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4的三棱锥S－ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，SA＝SC，且平面SAC⊥平面ABC，若该3三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积是( )
高考专题 内切球与外接球的解题策略
