湛江一中第四届“迎新杯”数学竞赛
高 一 试 题
满 分：150分 时间：2018．1．7 下午 15：00---17：00
数学是科学的皇后-----高斯 祝同学们在新的一年数学科取得优异成绩！
一、选择题：本大题共 10小题,每小题 5 分,共 50分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的. 把答案填在答题卷上．
1. 已知U是全集， M、N是U的两个子集，若M?N?U， M?N??，则下列选项中正确的是
A. CUM?N B. CUN?M
C. ?CUM???CUN??? D.?CUM???CUN??U 2. 已知实数x,y满足ax?ay?a?1?，则下列关系式恒成立的是 A.
11? B. sinx?siny C. lg?x2?1??lg?y2?1? D. x?1y?13x?3y x3. 已知函数f?x??x?2?a（a?0）的最小值为2，则实数a?
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
ex?e?x4. 函数f?x??2的部分图象大致是
x?x?2A. B.
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C. D.
5. 某班学生进行了三次数学测试，第一次有8名学生得满分，第二次有10名学生得满分，第三次有12名学生得满分，已知前两次均为满分的学生有5名，三次测试中至少有一次得满分的学生有15名.若后两次均为满分的学生至多有n名，则n的值为 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 已知函数f?x??cos?x????0???A. f?x?在?C. f?x?在?????2??， f?x??????是奇函数，则 4???????,??上单调递减 B. f?x?在?0,?上单调递减 ?4??4???????,??上单调递增 D. f?x?在?0,?上单调递增 ?4??4?7. 在?ABC中， AB?AC?5,BC?6, I是?ABC的内心，若BI?mBA?nBC
?m,n?R?，则A.
m? n461 B. C. 2 D. 352对称，当
时，
（
8. 设是定义在上的函数，它的图象关于点为自然对数的底数），则的值为 A.
B.
x C. D.
?1?9. 函数f?x??logax???,a?0,a?1.若该函数的两个零点为x1,x2，则
?2?A. x1x2?1 B. x1x2?1 C. x1x2?1 D. 无法判定
10. 如图，点C在以AB为直径的圆上，其中AB?2，过A向点C处的切线作垂线，垂足为P，则AC?PB的最大值是
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A. 2 B. 1 C. 0 D. ?1
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷相应的横线
上.
11. ?为锐角，若cos(???6)?42??2?)?___________. ，则sin(5312. 设x1?y2?y1?x2?1,则x2?y2?___________________. 13. 已知函数f?x??x?2x???12x??，若f?x?1??f?x?，则x的取值范围__________. ?14. 已知??0,函数f?x??2sin?x在区间??围是 ______________.
????,?上的最小值为?2，则?的取值范?34?15. 已知?ABC是边长为4的等边三角形， P为平面ABC内一点，则PA?PB?PC的最小值为__________________.
??x?2x，若?x?1x?1曲线y?f?x?与y?g?x?图象的交点分别为?x1,y1?， ?x2,y2?， ?x3,y3?，…，
16．已知函数f?x?（x?R）满足f??x??4?f?x?，函数g?x???x2018,y2018?，则?x1?y1??(x2?y2)?...?(x2018?y2018)?__________. 三、解答题:本大题共4 题,共 70 分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.把答题过程写在答题卷上. 17.（本题满分15分） 设0??????2，请你用两种方法证明公式：cos(???)?cos?cos??sin?sin?． ．．
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18.（本题满分15分）
已知关于x的方程2sinx?cosx?m 在[0,2?)内有两个不同的解?,?． (Ｉ)求实数m的取值范围； （II)用m表示 cos(???)的值.
19.（本题满分20分）
求实数a的取值范围，使不等式
?22?sin2??(22?a2)sin(??)???3?2a，对??[0,]恒成立.
4cos(???)24
20. （本题满分20分）
已知n?N*,n?2,k1,k2,k3,???,kn???1,1?,A?x?0|x?k1?2?k2?22?????kn?2n记A?n?为集合A中所有元素之和. (I)求A?3?的值；
(II)求A?n?（用n表示）.
??,
q(1?qn)(q?1)） （参考公式：q?q?q?...?q?1?q23n
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