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20．答案是否定的．设横行或竖列上包含k个黑色方格及8-k个白色方格，其中0≤k≤8．当改变方格的颜色时，得到8-k个黑色方格及k个白色方格．因此，操作一次后，黑色方格的数目“增加了”(8-k)-k=8-2k个，即增加了一个偶数．于是无论如何操作，方格纸上黑色方格数目的奇偶性不变．所以，从原有的32个黑色方格(偶数个)，经过操作，最后总是偶数个黑色方格，不会得到恰有一个黑色方格的方格纸．
21．大于3的质数p只能具有6k＋1，6k＋5的形式．若p=6k＋1(k≥1)，则p+2=3(2k＋1)不是质数，所以， p=6k＋5(k≥0)．于是，p＋1=6k＋6，所以，6｜(p＋1)．
22．由题设条件知n=75k=3×52×k．欲使n尽可能地小，可设n=2α3β5γ(β≥1，γ≥2)，且有 (α+1)(β+1)(γ＋1)=75．
于是α＋1，β+1，γ＋1都是奇数，α，β，γ均为偶数．故取γ=2．这时 (α+1)(β+1)=25． 所以 故(α，β)=(0，24)，或(α，β)=(4，4)，即n=20?324?52 23．设凳子有x只，椅子有y只，由题意得 3x＋4y+2(x+y)＝43， 即 5x+6y＝43．
所以x=5，y=3是唯一的非负整数解．从而房间里有8个人．
24．原方程可化为 7x-8y+2z＝5．
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令7x-8y=t，t＋2z=5．易见x=7t，y=6t是7x-8y=t的一组整数解．所以它的全部整数解是 而t=1，z=2是t＋2z=5的一组整数解．它的全部整数解是 把t的表达式代到x，y的表达式中，得到原方程的全部整数解是
25．(1)第一个位置有8种选择方法，第二个位置只有7种选择方法，…，由乘法原理，男、女各有 8×7×6×5×4×3×2×1＝40320
种不同排列．又两列间有一相对位置关系，所以共有2×403202种不同情况．
(2)逐个考虑结对问题．
与男甲结对有8种可能情况，与男乙结对有7种不同情况，…，且两列可对换，所以共有 2×8×7×6×5×4×3×2×1=80640 种不同情况．
26．万位是5的有4×3×2×1=24(个)． 万位是4的有 4×3×2×1=24(个)．
万位是3，千位只能是5或4，千位是5的有3×2×1=6个，千位是4的有如下4个： 34215，34251，34512，34521． 所以，总共有 24+24＋6+4＝58 个数大于34152．
27．两车错过所走过的距离为两车长之总和，即 92＋84=176(米)．
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设甲火车速度为x米/秒，乙火车速度为y米/秒．两车相向而行时的速度为x+y；两车同向而行时的速度为x-y，依题意有 解之得
解之得x=9(天)，x＋3=12(天)． 解之得x=16(海里/小时)．
经检验，x=16海里/小时为所求之原速．
30．设甲乙两车间去年计划完成税利分别为x万元和y万元．依题意得 解之得
故甲车间超额完成税利 乙车间超额完成税利
所以甲共完成税利400+60=460(万元)，乙共完成税利350+35=385(万元)．
31．设甲乙两种商品的原单价分别为x元和y元，依题意可得 由②有
0.9x+1.2y=148.5， ③ 由①得x=150-y，代入③有 0. 9(150-y)＋1.2y＝148. 5，
解之得y=45(元)，因而，x=105(元)．
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32．设去年每把牙刷x元，依题意得 2×1.68＋2(x+1)(1+30％)=[2x＋3(x+1)]-0.4， 即 2×1.68＋2×1.3+2×1.3x＝5x＋2.6， 即 2.4x=2×1.68， 所以 x=1.4(元)．
若y为去年每支牙膏价格，则y=1.4＋1=2.4(元)．
33．原来可获利润4×400=1600元．设每件减价x元，则每件仍可获利(4-x)元，其中0＜x＜4．由于减价后，每天可卖出(400+200x)件，若设每天获利y元，则 y＝(4-x)(400+200x) ＝200(4-x)(2+x) =200(8＋2x-x2)
=-200(x2-2x+1)＋200+1600 =-200(x-1)2+1800．
所以当x=1时，y最大=1800(元)．即每件减价1元时，获利最大，为1800元，此时比原来多卖出200件，因此多获利200元．
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34．设乙用x分钟追上甲，则甲到被追上的地点应走了(25+x)分钟，所以甲乙两人走的路程分别是0．4(25+x)千米和0．6x千米．因为两人走的路程相等，所以 0.4(25+x)=0.6x， 解之得x=50分钟．于是 左边=0.4(25＋50)=30(千米)， 右边= 0.6×50=30(千米)，
即乙用50分钟走了30千米才能追上甲．但A，B两镇之间只有28千米．因此，到B镇为止，乙追不上甲．
35．(1)设新合金中，含第一种合金x克(g)，第二种合金y克，第三种合金z克，则依题意有
(2)当x=0时，大500克． (3)新合金中，含锰重量为： x?40％＋y?10％+z?50％=400-0.3x，
y=250，此时，y为最小；当z=0时，y=500为最大，即250≤y≤500，所以在新合金中第二种合金重量y的范围是：最小250克，最
而0≤x≤500，所以新合金中锰的重量范围是：最小250克，最大400克．
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(完整版)初一奥数题集(带答案解析)
