2011——2016年河南中考数学第22题解析
22.（10分）（2016河南）（1）问题如图1，点A为线段BC外一动点，
ABC=a,AB=b。
a填空：当点A位于 时线段AC的长取得最大值，且最大值为 B（用含a，b的式子表示） 图1b（2）应用
点A为线段B除外一动点，且BC=3,AB=1.如图2所示，分别以AB，AC作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD,BE. ①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由
A②直接写出线段BE长的最大值. D（3）拓展
B图2如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标
0
0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90.请直接写AM长的最大值及此时点P的坐标。
且
C为边，
EC为（5，出线段
yMAOP图3
yBxOABx备用图
解：（1）CB的延长线上，a+b；………………………………………2分 （2）①DC=BE,理由如下
∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
0
∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60,
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠CAD=∠EAB, ……………5分 ∴△CAD≌△EAB（SAS）,∴DC=BE ………………………………6分 ②BE长的最大值是4. …………………………………………………8分 （3）AM的最大值为3+22，点P的坐标为（2-2，2）……10分
【提示】如图3，构造△BNP≌△MAP,则NB=AM,由（1）知，当点N在BA的延长线上时，NB有最大值（如备用图）。易得△APN是等腰直角三角形，AP=2，∴AN=22，∴AM=NB=AB+AN=3+22; 过点P作PE⊥x轴于点E，PE=AE=2,又A（2，0）∴P（2-2，2）
yMAOPN图3
MyBxPNOEA备用图Bx
0
22.（10分）（2015河南））如图1，在Rt△ABC中，∠B=90，BC=2AB=8,点D,E分别是边BC，AC的中点，连DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α. （1）问题发现
AEAE00
①当α=0时，BD= ；②当α=180时，BD= .
（2）拓展探究
AE00
试判断：当0≤α≤360时，BD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明.
(3)解决问题
当△EDC旋转至A,D,E三点共线时，直接写出线段BD的长.
AEBDCABEDA图1图2谷瑞林制图CB备用图C
5解：（1）①2 …………………………………………1分 5②2…………………………………………………2分
228?4 提示：①当α=0时，在Rt△ABC中，BC=2AB=8,∴AB=4；AC==45
0
又点D,E分别是边BC，AC的中点，∴CE∥AB,
AECECA455???8=2 ∴BDCDCB②当α=180时，∴CE∥AB, ∴AE=45+25=65 ∵BC=8;CD=4；∴BD=8+4=12
0
AB图3CDEAE655?12=2 ∴BD（2）无变化。（若误判断，但后续证明正确，不扣分）…………………………3分
在图1中，∵点D,E分别是边BC，AC的中点，∴CE∥AB,
CECD?CACB,∠EDC=∠B=900; ∴
如图2，∵△EDC在旋转过程中形状大小不变，
CECD?∴CACB仍然成立。…………………………………………………………4分
又∵∠ACE=∠BCD=α；∴△ACE∽△BCD，∴
AEAC?BDBC………………………6分
228?4在Rt△ABC中，AC==45，
ADEB图4C5AEAC45?∴BDBC=8=2。
AEBD图5AE∴BD的大小不变。………………………8分 125（3）45或5………………………10分
提示：如图4，当△EDC在BC上方，
且A、D、E三点共线时，四边形ABCD是矩形， ∴BD=AC=45；
如图5，当△EDC在BC下方，且A、D、E 三点共线时，△ADC是直角三角形， 由勾股定理得，AD=8, ∴AE=6,
EDCAE5125?2,得BD=5 根据BD
河南中考数学第22题解析
