. 《导数》知识点和各种题型归纳方法总结 一．导数的定义： 1.(1).函数y?f(x)在x?x处的导数:f'(xf(x0??x)?f(x0)00)?y'|x?x0??limx?0?x (2).函数y?f(x)的导数:f'(x)?y'?f(x??x)?f(x) ?limx?0?x2.利用定义求导数的步骤： ①求函数的增量：?y?f(x??x)?f(x)；②求平均变化率：?yf(x??x)?f(x)?x??x； ③取极限得导数：f'(x)??yf(x??x)?f(x)?limx?0?x??limx?0?x （下面容必记） 二、导数的运算： （1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式： ①C'?0(C为常数)；②(xn)'?nxn?1；(1m?n?n?1nmnmmn?1xn)'?(x)'??nx；(x)'?(x)'?nx ③(sinx)'?cosx； ④(cosx)'??sinx ⑤(ex)'?ex ⑥(ax)'?axlna(a?0,且a?1)； ⑦(lnx)'?1x； ⑧(log1ax)'?xlna(a?0,且a?1) 法则1：[f(x)?g(x)]'?f'(x)?g'(x)；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差). 法则2：[f(x)?g(x)]'?f'(x)?g(x)?f(x)?g'(x)(口诀：前导后不导相乘+后导前不导相乘) 法则3：[f(x)f'(x)?g(x)?f(x)?g(x)]'?g'(x)[g(x)]2(g(x)?0) (口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号) （2）复合函数y?f(g(x))的导数求法： ①换元，令u?g(x)，则y?f(u)②分别求导再相乘y'??g(x)?'??f(u)?'③回代u?g(x) 题型一、导数定义的理解 Word 资料
1..已知f(x)?1x,则f(2??x)?f(2)?limx?0?x的值是（ ） A. ?14 B. 2 C. 14 D. －2 变式1：设f??3??4,则limf?3?h??f?3?为（ ） h?02h A．－１ Ｂ．－2 C．－3 D．1 变式2：设f?x?在xf?x0??x??f?x0?3?x?0可导,则lim?x等于 （ ） ?x?0 A．2f??x0? B．f??x0? C．3f??x0? D．4f??x0? 题型二：导数运算 1、已知f?x??x2?2x?sin?，则f'?0?? 2、若f?x??exsinx，则f'?x?? 3.f(x)=ax3+3x2+2 ，f?(?1)?4，则a=（ ） A.103B.133C.163D.193 三．导数的物理意义 1.求瞬时速度：物体在时刻t0时的瞬时速度V0就是物体运动规律S?f?t?在t?t0 时的导数f??t0?， 即有V0?f??t0?。 2.V＝s/(t) 表示即时速度。a=v/(t) 表示加速度。（了解） 四．导数的几何意义： 函数f?x?在x0处导数的几何意义，曲线y?f?x?在点P?x0,f?x0??处切线的斜率是k?f??x0?。于是相应的切线方程是：y?y0?f??x0??x?x0?。 题型三．用导数求曲线的切线 注意两种情况： （1）曲线y?f?x?在点P?x0,f?x0??处切线：性质：k切线?f??x0?。相应的切线方程是：y?y0?f??x0??x?x0? （2）曲线y?f?x?过点P?x0,y0?处切线：先设切点，切点为Q(a,b) ,则斜率k=f'(a)，切点Q(a,b) 在曲线y?f?x?上，切点Q(a,b)在切线y?y0?f??a??x?x0?上，切点Q(a,b)坐标代入方程得关于a,b的曲靖经开区一中2017届高三6、7班文科数学备考复习专题—《导数及应用》题型归纳 主编：浦仕国 2016年6月 方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k=f'(a)，确定切线方程。 注意：若函数f（x）在（a，c）上为减函数，在（c，b）上为增函数，则x=c两侧使函数f?（x）变号，即x=c为函数的一个极值点，所以f'(c)?0 例题．若函数f(x)?例：在曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程； 解析：（1）k?y'|x?x0?3x02?6x0?6?3(x0?1)2?3当x0=-1时，k有最小值3， 此时P的坐标为（-1，-14）故所求切线的方程为3x-y-11=0 lnx，若a?f(3),b?f(4),c?f(5)则( ) x A. a< b < c B. c < b < a C. c < a < b D. b < a < c 五．函数的单调性：设函数y?f(x)在某个区间可导， （1）f'(x)?0?f(x)该区间为增函数； （2）f'(x)?0?f(x)该区间为减函数； 注意：当f'(x)在某个区间个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，f(x)在这个区间上仍是递增（或递减）的。 （3）f(x)在该区间单调递增?f'(x)?0在该区间恒成立； （4）f(x)在该区间单调递减?f'(x)?0在该区间恒成立； 题型一、利用导数证明（或判断）函数f(x)在某一区间上单调性： 解题模板： （1）求导数 y??f?(x) (2)判断导函数y??f?(x)在区间上的符号 (3)下结论 ①f'(x)?0?f(x)该区间为增函数； ②f'(x)?0?f(x)该区间为减函数； 题型二、利用导数求单调区间 求函数y?f(x)单调区间的步骤为： （1）分析 y?f(x)的定义域； （2）求导数 y??f?(x) （3）解不等式f?(x)?0，解集在定义域的部分为增区间 （4）解不等式f?(x)?0，解集在定义域的部分为减区间 题型三、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题） 思路一： （1）f(x)在该区间单调递增?f'(x)?0在该区间恒成立； （2）f(x)在该区间单调递减?f'(x)?0在该区间恒成立； 思路二：先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。 六、函数的极值与其导数的关系： 1.①极值的定义：设函数f(x)在点x0附近有定义，且若对x0附近的所有的点都有f(x)?f(x0)（或f(x)?f(x0)，则称f(x0)为函数的一个极大（或小）值，x0为极大（或极小）值点。 ②可导数f(x)在极值点，但函数f(x)在某点x0处的导数为0，并不一定．．．x0处的导数为0（即f'(x0)?0）3函数f(x)在该处取得极值（如f(x)?x在x0?0处的导数为0，但f(x)没有极值）。 ③求极值的步骤： 第一步：求导数f'(x)； 第二步：求方程f'(x)?0的所有实根； 第三步：列表考察在每个根x0附近，从左到右，导数f'(x)的符号如何变化， 若f'(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值； 若f'(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值； 若f'(x)的符号不变，则f(x0)不是极值，x0不是极值点。 2、函数的最值： ①最值的定义：若函数在定义域D存x0，使得对任意的x?D，都有f(x)?f(x0)，（或f(x)?f(x0)）则称f(x0)为函数的最大（小）值，记作ymax?f(x0)（或ymin?f(x0)） ②如果函数y?f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间[a,b]上必有最大值和最小值。 ③求可导函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值方法： 第一步；求f(x)在区间[a,b]的极值； 第二步：比较f(x)的极值与f(a)、f(b)的大小： 第三步：下结论:最大的为最大值，最小的为最小值。 注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。极值≠最值。函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】 第3页 共22页 ◎ 【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】 第4页 共22页
. 值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。 2．函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对应最小值） 3、注意：极大值不一定比极小值大。如f(x)?x?1x的极大值为?2，极小值为2。 注意：当x=x时，函数有极值? f/(x/00)＝0。但是，f(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值； 判断极值，还需结合函数的单调性说明。 题型一、求极值与最值 题型二、导数的极值与最值的应用（不等式恒成立问题，讨论方程的根的个数问题） 题型四、导数图象与原函数图象关系 导函数（看正负） 原函数（看升降增减） f'(x)的符号 f(x)单调性 f'(x)与x轴的交点且交点两侧异号 f(x)极值 f'(x)的增减性 f(x)的每一点的切线斜率的变化趋势 （f(x)的图象的增减幅度） f'(x)增 f(x)的每一点的切线斜率增大（f(x)的图象的变化幅度快） f'(x)减 f(x)的每一点的切线斜率减小 （f(x)的图象的变化幅度慢） 【题型针对训练】 1. 已知f(x)=ex-ax-1. （1）求f(x)的单调增区间； （2）若f(x）在定义域R单调递增，求a的取值围； （3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？ 若存在，求出a的值；若不存在，说明理由. 2. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0， 若x=23时，y=f(x）有极值. （1）求a,b,c的值； Word 资料
（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值. （请你欣赏）3.当 x?0，证明不等式x1?x?ln(1?x)?x. 证明：f(x)?ln(x?1)?x1?x，g(x)?ln(x?1)?x，则f?(x)?x(1?x)2， 当x?0时。?f(x)在?0,???是增函数，?f(x)?f(0)，即ln(1?x)?x1?x?0， 又g?(x)??x1?x，当x?0时，g?(x)?0，?g(x)在?0,???是减函数，?g(x)?g(0)，即ln(1?x)?x?0，因此，当x?0时，不等式x1?x?ln(1?x)?x成立. 点评：由题意构造出两个函数f(x)?ln(x?1)?x1?x，g(x)?ln(x?1)?x. 利用导数求函数的单调区间或求最值，从而导出是解决本题的关键. （请你欣赏）4、 已知函数f(x)?ax3?bx2?(c?3a?2b)x?d (a?0)的图象如图所示。 （Ⅰ）求c、d的值； （Ⅱ）若函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为3x?y?11?0， 求函数f ( x )的解析式； （Ⅲ）若x0?5,方程f(x)?8a有三个不同的根，数a的取值围。 解：由题知：f?(x)?3ax2?2bx+c-3a-2b （Ⅰ）由图可知 函数f ( x )的图像过点( 0 , 3 )，且f??1?= 0 得??d?3?3a?2b?c?3a?2b?0???d?3?c?0 （Ⅱ）依题意f??2?= – 3 且f ( 2 ) = 5 ??12a?4b?3a?2b??3?8a?4b?6a?4b?3?5 解得a = 1 , b = – 6 所以f ( x ) = x3 – 6x2 + 9x + 3 （Ⅲ）依题意 f ( x ) = ax3 + bx2 – ( 3a + 2b )x + 3 ( a＞0 ) f??x?= 3ax2 + 2bx – 3a – 2b
导数知识点各种题型归纳方法总结
