多项式tk+1在实数域?中的标准分解
吴 克 俭
【摘 要】文章研究多项式tk+1在实数域R中使得(tk+1)-1的积分便于计算的不可约因式分解.
【期刊名称】岭南师范学院学报 【年(卷),期】2017(038)003 【总页数】4
【关键词】多项式;不可约因式;重复排列
1 引言与定理
作者在研究等间距交错调和级数的精确求和过程中,涉及到了多项式tk+1在实数域?中的不可约因式分解.文[1]讲述了tk-1在?中的不可约因式分解.文[2]利用证明复数模长为1的方式得到了tk+1在?中的不可约因式分解.当k是正整数,则tk+ 1在?中的不可约因式分解式为
这个分解式很规整,也很简练.但是,当k是较大偶数时,的精确值并非容易求得,也难于精确表示.这就给函数的积分计算带来了不便.本文研究多项式t2+1在?中的一种适用于积分计算的较为实用的因式分解式.首先,定义下列记号:
设其中±表示只取+与-中的一个,σn表示在2元集合{+,-}中任取n个元素的一个重复排列.当a=0时,数列
常常会在极限论中遇到.特别地,Bσ0(a)=Bσ1=0. 本文的主要结果叙述如下:
定理 设正整数k=2nl,其中l是奇数,n∈N,则tk+1在?中可分解成不可约因式之积.当k是奇数时,则
当k是偶数时,则
其中σn取遍所有不同的在2元集{+,-}中任取n个元素的重复排列. 在下一节证明这个结论.
2 定理证明
为证明定理,首先引入下列引理.
引理 设a∈?满足-1＜a≤1.当n≥2时,则多项式t2n+2at2n-1+1在?中可分解成2次不可约因式之积
其中σn-1取遍所有不同的在2元集{+,-}中任取n-1个元素的重复排列. 证明 对n用数学归纳法.当n=2时,且-1＜a≤1,由(1)得
又,由一元二次方程根的判别式得t2+tBσ1(a)+1在R中不可约,则结论成立. 假设n-1≥2时,结论成立.对n≥3,由(1)得Bσn-1(a)可表成两种情况则由(2)和归纳假设得 又由(1)得
由一元二次方程根的判别式得t2+tBσn-1(a)+1在?中不可约.综上所述,引理获证.
下面来证明定理.
定理证明 对k=2nl中的n与l分3种情况来讨论.
情况1 当k是奇数时,即n=0.当k=1时,显然结论成立.当k≥3时,令复数单位根ε
则结论成立.
情况2 当l=1时,则k=2n.当n=1时,则
从而结论成立.当n≥2时,直接由引理得 则结论成立.
情况3 当n＞0,l＞1时,从而l是大于等于3的奇数.于是,tk+1=t2nl+1=(t2n)l+1.由情形1得 令,由引理得
将(3)和(5)代入(4)得
其中σn取遍所有不同的在{+,-}中任取n个元素的重复排列.定理证毕. 参考文献：
[1]北京大学数学系前代数小组.高等代数(第4版)[M].北京:高等教育出版社,2013.
[2]丘维声.高等代数学习指导书(下册,第2版)[M].北京:清华大学出版社,2016.
多项式t^k+1在实数域R中的标准分解
