题 1—— 利用 ( 1)
定积专 分定义求极限专题1 ----- 利用定积分定义求极限
对于满足如下条件的极限，可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法:
①是n 时的极限
n
②极限运算中含有连加符号
i 1
在定积分的定义中，我们把区间［a,b］平均分成n个小区间(定积分的定义中是任意分 割区间［a,b］，我们当然可以平均分割)，那么每个小区间的长度为 口(即定义中的 n
xQ，这n个小区间分别为［a,a -~ ］， ［a -~ ,a 2-~ ］，
n n n
ba ba b a b a ［a 2 ,a 3 n
］，……，［a (n 2) ,a (n 1) n n
ba 亠
］，［a (n 1) ,b］，在
n n
定义中每个小区间上任意取的i我们一致取为每个小区间的右端点 i a i口 (也
n
nb a
可以取左端点i a (i 1)--)，那么定义中的
n
f (a
i 1
f( J Xi就变为
i 1
，那么lim
n
i 1
f (a
f(x)dx。 (取左端点时
lim
n
f (a (i 1)
b a ) n
f(x)dx)
注意：定积分的定义中 0表示的意思是把区间分割为无线个小区间(n 也表示
n
把区间分割成无数个小区间，但是在任意分割的前提下，不能用 来表示把区间
分割成无数个小区间，这里的原因我是理解的，但是不好表述，你清楚结论就行 了)，当分割方式为均等分割时，n
n
就表示把区间分割成无数个小区间，所以这
n
ba ba b baba
里是 lim f (a i ------------- ) ------ f (x)dx，而不是 lim f (a i ----------------------- ) -------
n0 i 1 n n a i 1 n n
f(x)dx。
如f(x)在区间［0,1］上的积分可以表示为
n
0f (x)dx
lim1n
f (丄) n nil
n
i
取每个小区间
1
的右端点，或者0f(x)dx
1 lim — f ( n
n i 1 n
i 1
)
i
取每个小区间的左端点
n
n 3
举例：求lim 丄
i 1 n
3
13
0
分析：函数f (x) x在区间［0,1］上的定积分的定义可以表示为
xdx
^i1
-(丄)3 n n
?3
(这里i取的是每个小区间的右端点)，即
n3
13
0
xdx lim
(丄)3 lim
n
n
4
n
。所以
lim
n
i
\\3dx
0
对于这个考点的考法应该不会很深(这个方法经常在数学竞赛中用到)，给出的极限 应该可以化为某个函数在区间 ［0,1］上的定积分，基于此，遇到这类题时, 定要把给
1 i 1 n i
出的极限化为如下形式: lim f ( ) lim f ()或者 n i 1 n n nn i 1 n
lim 0 1 f(」)」lim 0 f(」)，只要化为以上的几种形式，那么给出的极限就是函 n
i 1 n n nn i 1 n
n
数f (x)在区间［0,1］上的积分，即
f (x)dx
lim 1 f (-) Sim
n
i 1 n n nn i 1 n
f(-)
hm lim T f(」)n
n i 1 n n n
f(」)
n
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