2020-2021精选中考数学易错题专题复习相似
一、相似
1．如图，△ABC是一锐角三角形余料，边BC=16cm，高AD=24cm，要加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上．
求：
（1）AK为何值时，矩形EFGH是正方形？
（2）若设AK=x，SEFGH=y，试写出y与x的函数解析式． （3）x为何值时，SEFGH达到最大值． 【答案】（1）解：设边长为xcm， ∵矩形为正方形， ∴EH∥AD，EF∥BC，
根据平行线的性质可以得出： = 、 = ， 由题意知EH=x，AD=24，BC=16，EF=x，即 = ∵BE+AE=AB， ∴ + = 解得x= ， ∴AK= ， ∴当
时，矩形EFGH为正方形 + =1，
， = ，
（2）解：设AK=x，EH=24-x， ∵EHGF为矩形， ∴ = ，即EF= x，
∴SEFGH=y= x?（24-x）=- x2+16x（0＜x＜24）
（3）解：y=- x2+16x 配方得：y=
（x-12）2+96，
∴当x=12时，SEFGH有最大值96
【解析】【分析】（1）设出边长为xcm，由正方形的性质得出，EH∥AD，EF∥BC，根据平行线的性质，可以得对应线段成比例，代入相关数据求解即可。
（2）设AK=x，则EH=16-x，根据平行的两三角形相似，再根据相似三角形的对应边上的高之比等于相似比，用含x的代数式表示出EF的长，根据矩形面积公式即可得出y与x的函数解析式。
（3）将（2）中的函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可得出矩形EFGH的面积取最大值时的x的值。
2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣ x+ 与x轴、y轴分别交于点B、A，与直线y= 相交于点C．动点P从O出发在x轴上以每秒5个单位长度的速度向B匀速运动，点Q从C出发在OC上以每秒4个单位长度的速度，向O匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2）．
（1）直接写出点C坐标及OC、BC长；
（2）连接PQ，若△OPQ与△OBC相似，求t的值； （3）连接CP、BQ，若CP⊥BQ，直接写出点P坐标．
【答案】（1）解：对于直线y=﹣ x+ ，令x=0，得到y= ， ∴A（0， ）， 令y=0，则x=10， ∴B（10，0），
由 ∴C（ ，
）．
，解得
，
∴OC=
=8，
BC=
=10
（2）解：①当 ∴ ∴t= ． ②当 ∴ ∴t=1，
综上所述，t的值为 或1s时，△OPQ与△OBC相似
时，△OPQ∽△OBC， ， ，
时，△OPQ∽△OCB，
（3）解：如图作PH⊥OC于H．
∵OC=8，BC=6，OB=10， ∴OC2+BC2=OB2 ， ∴∠OCB=90°，
∴当∠PCH=∠CBQ时，PC⊥BQ．
∵∠PHO=∠BCO=90°， ∴PH∥BC， ∴ ∴
， ，
∴PH=3t，OH=4t， ∴tan∠PCH=tan∠CBQ， ∴
，
∴t= 或0（舍弃）， ∴t= s时，PC⊥BQ．
【解析】【分析】（1）根据直线与坐标轴交点的坐标特点求出A,B点的坐标，解联立直线AB,与直线OC的解析式组成的方程组，求出C点的坐标，根据两点间的距离公式即可直接算出OC,OB的长；
（2）根据速度乘以时间表示出OP=5t，CQ=4t，OQ=8-4t，①当OP∶OC=OQ∶OB时，△OPQ∽△OCB，根据比例式列出方程，求解得出t的值；②当OP∶OB=OQ∶OC时，△OPQ∽△OBC，根据比例式列出方程，求解得出t的值，综上所述即可得出t的值； （3）如图作PH⊥OC于H．根据勾股定理的逆定理判断出∠OCB=90°，从而得出当∠PCH=∠CBQ时，PC⊥BQ．根据同位角相等二直线平行得出PH∥BC，根据平行线分线段成比例定理得出OP∶OB=PH∶BC=OH∶OC,根据比例式得出PH=3t，OH=4t，根据等角的同名三角函数值相等及正切函数的定义，由tan∠PCH=tan∠CBQ，列出方程，求解得出t的值，经检验即可得出答案。
3．设C为线段AB的中点，四边形BCDE是以BC为一边的正方形．以B为圆心，BD长为半径的⊙B与AB相交于F点，延长EB交⊙B于G点，连接DG交于AB于Q点，连接AD．
求证：
（1）AD是⊙B的切线； （2）AD=AQ；
（3）BC2=CF?EG．
【答案】（1）证明：连接BD，
∵四边形BCDE是正方形， ∵C为AB的中点，
∴∠DBA=45°，∠DCB=90°，即DC⊥AB， ∴CD是线段AB的垂直平分线， ∴AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA=45°， ∴∠ADB=90°， 即BD⊥AD， ∵BD为半径， ∴AD是⊙B的切线
（2）证明：∵BD=BG， ∴∠BDG=∠G， ∵CD∥BE， ∴∠CDG=∠G，
∴∠G=∠CDG=∠BDG= ∠BCD=22.5°，
∴∠ADQ=90°﹣∠BDG=67.5°，∠AQB=∠BQG=90°﹣∠G=67.5°， ∴∠ADQ=∠AQD， ∴AD=AQ
（3）证明：连接DF， 在△BDF中，BD=BF， ∴∠BFD=∠BDF， 又∵∠DBF=45°， ∴∠BFD=∠BDF=67.5°， ∵∠GDB=22.5°，
在Rt△DEF与Rt△GCD中，
∵∠GDE=∠GDB+∠BDE=67.5°=∠DFE，∠DCF=∠E=90°， ∴Rt△DCF∽Rt△GED，
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