排序不等式练习
1设a1，a2，…，an都是正数，b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的任一排列，
P?a12b1?1?a22b2?1?222若A?x1?x2??an2bn?1，Q＝a1＋a2＋…＋an，则P与Q的大小关系是( )． ?xn2，B＝x1x2＋x2x3＋…＋xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正数，
A．P＝Q B．P＞Q C．P＜Q D．P≥Q 则A与B的大小关系是( )．
A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A≤B
ab?a??b?3设a，b都是正数，P??????，Q??，则( )．
ba?b??a?A．P≥Q B．P≤Q C．P＞Q D．P＜Q 4设c1，c2，…，cn为正数a1，a2，…，an的某一排列，则
22a1a2??c1c2?an与n的大cn小关系是________．
5某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件和2件，如果选择商店中单价为3元，2元和1元的礼品，则花钱最少和最多的值分别为______．
a2?b2b2?c2c2?a2a3b3c3a?b?c???????6已知a，b，c∈R＋，求证：．
2c2a2bbccaaban2a12a227设a1，a2，…，an为正数，求证：????a1?a2???an．
a2a3a18设a，b，c为正实数，求证：abc??abc?abca?b?c3．
参考答案
1答案：D 设a1≥a2≥…≥an＞0，
22可知a1?a2??an2，an?1?an?1??a1?1．
由排序不等式，得
a12b1?1?a22b2?1?2?12?1即a1b1?a2b2??an2bn?1?a12a1?1?a22a2?1?an2an?1， ?an2bn?1?a1?a2??an．
∴P≥Q，当且仅当a1＝a2＝…an＞0时等号成立． 2答案：C 根据排序不等式可知A≥B． 3答案：A 由题意不妨设a≥b＞0，则a2≥b2，
11?， ba
a2b2?∴． baa21b21a21b21???????， 根据排序不等式，知
bbaabaab?a??b?ab即???????， ?b??a?ba∴P≥Q．当且仅当a＝b时，取“＝”号．
22an111?n 不妨设0＜a1≤a2≤…≤an，则???，因cna1a2an11111为c1，c2，…，cn是a1，a2，…，an的一个排列，所以，，…，是，，…，
cna1a2c1c21的一个排列，故由排序不等式：逆序和≤乱序和，得 anaaa111111a1??a2???an??a1??a2???an?，即1?2??n?n，
a1a2anc1c2cnc1c2cn4 答案：
a1a2??c1c2?当且仅当a1＝a2＝…＝an＞0时等号成立．
5 答案：19元和25元 设花钱y元，则由排序不等式，有5×1＋4×2＋2×3≤y≤5×3＋4×2＋2×1，即19≤y≤25．
6 答案：证明：不妨设a≥b≥c＞0，则a2≥b2≥c2，
111??， cba12121?b??c?(乱序和) cab111?a2??b2??c2?(逆序和)，
abc212121同理，b??c??a?(乱序和) cab111?a2??b2??c2?(逆序和)．
abc则a?2
a2?b2b2?c2c2?a2??两式相加再除以2，可得a?b?c?． 2c2a2b111再考虑数组a3≥b3≥c3及， ??bcacabb2?a2b2?c2c2?a2a3b3c3?????仿上可证得． 2c2a2bbccaab综上，原不等式成立．
7 答案：分析：先假设出大小关系，再利用排序不等式证明． 证明：由所证不等式的对称性，不妨设0＜a1≤a2≤…≤an，
111???． a1a2an11111111又，，…，，为，，，…，的一个排列，由乱序和≥逆序a2a3a1a1a2a3anan11111121?a22???an?12??an2??a12??a22???an2?， 和，得a1?a2a3ana1a1a2an22∴a1?a2??an2，
a12a22即??a2a3an2??a1?a2?a1?an．
8 答案：证明：设a≥b≥c＞0，则lg a≥lg b≥lg c． 据排序不等式，有
alg a＋blg b＋clg c≥blg a＋clg b＋alg c， alg a＋blg b＋clg c≥clg a＋alg b＋blg c， 且alg a＋blg b＋clg c＝alg a＋blg b＋clg c． 以上三式相加，得
3(alg a＋blg b＋clg c)≥(a＋b＋c)(lg a＋lg b＋lg c)， 即lg(abc)?abcabca?b?c?lg(abc)， 3a?b?c3∴abc?(abc)
．
数学北师大选修课后训练：第二章§排序不等式 含解析
