全国名校高考数学复习优质学案汇编（附详解）
立体几何中的向量方法
第1课时 空间向量与平行、垂直关系
1.理解直线的方向向量和平面的法向量的意义． 2.掌握空
间向量的运算与立体几何问题的对应关系，掌握使用空间向量研究立体几何中的平行与垂直关系的方法．
1．直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量，一条直线的方向向量有无数个．
(2)平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
2．空间平行关系的向量表示 (1)线线平行
设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m?a∥b?a＝λb?a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．
(2)线面平行
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α?a⊥u?a·u＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
(3)面面平行
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设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β?u∥v?u＝λv?a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．
3．空间垂直关系的向量表示 (1)线线垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0．
(2)线面垂直
设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?a∥u?a＝λu?a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．
(3)面面垂直
若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β?u⊥v?u·v＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．( ) (2)平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．( )
(3)两直线的方向向量平行，则两直线平行．( )
(4)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．若A(1，0，－1)，B(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方
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向向量是( )
A．(2，2，6) C．(3，1，1) 答案：A
1??
??，则－2，1，3．若平面α⊥β，且平面α的一个法向量为n＝2??平面β的法向量可以是( )
11??
?A.－1，2，4? ??C．(1，2，0) 答案：C
4??
?4．若直线的方向向量为u1＝2，3，1?，平面的法向量为u2＝(3，??2，z)，则当直线与平面垂直时z＝________．
3
答案：2
探究点一 直线的方向向量与平面的法向量
已知A(1，0，1)、B(0，1，1)、C(1，1，0)，求平面ABC
的一个法向量．
[解] 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)， →＝(－1，1，0)，BC→＝(1，0，－1)． 由题意知AB
→且n⊥BC→， 因为n⊥AB
B．(2，－1，0)
?1?
D.?2，1，2? ?
?
B．(－1，1，3) D．(－3，0，1)
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→＝－x＋y＝0，?n·AB
所以?
→＝x－z＝0，BC?n·令x＝1，得y＝z＝1.
所以平面ABC的一个法向量为n＝(1，1，1)．
利用待定系数法求平面法向量的步骤
(1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)． →，AC→. (2)选向量：在平面内选取两不共线向量AB→＝0，?n·AB
(3)列方程组：由?列出方程组．
→AC＝0?n·→＝0，?n·AB
(4)解方程组：?
→＝0.AC?n·
(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量．
1. 如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面是直角梯形，
1
∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝2，建立适当的空间直角坐标系，分别求平面SCD与平面SBA的一个法向量．
→，AB→，AS→分别为x，y，z轴的正解：如图，以A为原点，以AD
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方向建立空间直角坐标系，
?1???，C(1，1，0)，S(0，0，1)， ，0，0则A(0，0，0)，D2???1?→?1?→则DC＝?2，1，0?，DS＝?－2，0，1?.
?
?
?
?
?1?→??是平面SAB的一个法向量． ，0，0易知向量AD＝2
?
?
设n＝(x，y，z)为平面SDC的法向量， 1→＝1x＋y＝0，??n·DCy＝－??22x，
则?即?
11→＝－x＋z＝0，?z＝x.?n·DS??22取x＝2，则y＝－1，z＝1，
所以平面SDC的一个法向量为(2，－1，1)．
探究点二 利用空间向量证明平行关系
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、
DD1的中点，求证：FC1∥平面ADE.
[证明] 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
空间向量与平行、垂直关系
