课时分层作业(九) 充要条件
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A?B”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
C [由A∩B＝A可知A?B；反过来A?B，则A∩B＝A，故选C.] 2.已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A?B”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C.充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A [当a＝3时，A＝{1,3}，所以A?B，即a＝3能推出A?B； 反之当A?B时，a＝3或a＝2，所以A?B成立，推不出a＝3. 故“a＝3”是“A?B”的充分不必要条件，故选A.]
3.已知集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x≤a}，则“A?B”是“a＞5”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [因为|x|≤4?－4≤x≤4，所以A＝{x|－4≤x≤4}．又A?B，所以a≥4，故选B.]
4．实数a，b中至少有一个不为零的充要条件是( )
1
A．ab＝0 C．a2＋b2＝0
B．ab＞0 D．a2＋b2＞0
D [a2＋b2＞0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0.故选D.]
5.“xy≥0”是“|x＋y|＝|x|＋|y|”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分又不必要条件 [答案] A 二、填空题
6．已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的______条件．
充要 [因为a>0，b>0，所以a＋b>0，ab>0，
所以充分性成立；因为ab>0，所以a与b同号，又a＋b>0，所以a>0且b>0，所以必要性成立．故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件．]
7．若p：x－3<0是q：2x－3 1 {m|m＞3} [由x－3<0得x<3，由2x－3 ???1 ?x?x ?? ?， ?? 1 所以2(m＋3)＞3，解得m＞3.] 8.设计如图所示的四个电路图，条件A：“开关S1闭合”；条件B：“灯泡L亮”，则A是B的充要条件的图为________． 2 乙 [对于图甲，开关S1闭合灯亮，反过来灯泡L亮，也可能是开关S2闭合， ∴A是B的充分不必要条件． 对于图乙，只有一个开关，灯如果要亮，开关S1必须闭合， ∴A是B的充要条件． 对于图丙，∵灯亮必须S1和S2同时闭合， ∴A是B的必要不充分条件． 对于图丁，灯一直亮，跟开关没有关系， ∴A是B的既不充分也不必要条件．] 三、解答题 9．求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件． [解] ①当a＝0时，解得x＝－1，满足条件； ②当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a＜0； 若方程有两个负的实根， ??1 则必须满足?－＜0， a??Δ＝1－4a≥0 1 a＞0， 1 ?0＜a≤4. 1 综上，若方程至少有一个负实根，则a≤4. 1 反之，若a≤4，则方程至少有一个负实根． 10．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 3 [证明] 充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根) ∵ac<0， ∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0， c ∴方程一定有两不等实根，设为x1，x2，则x1x2＝a<0， ∴方程的两根异号． 即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根． 必要性：(由方程有一正根和一负根，推证ac<0)， ∵方程有一正根和一负根，设为x1，x2， c 则由根与系数的关系得x1x2＝a<0， 即ac<0. 综上可知：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. [等级过关练] 1.若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则( ) A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件 B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件 C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件 D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件 B [由A∪B＝C知，x∈A?x∈C，x∈CD/?x∈A.所以x∈C是x∈A的必要不充分条件．] 2．记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min{x1，x2，…，xn}．已知△ABC的三边边长为a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为l ?abc?abc＝maxb，c，a·min?b，c，a?，则“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的( ) ? ? A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 4 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A [当△ABC是等边三角形时，a＝b＝c， ?abc??abc? ∴l＝max?b，c，a?·min?b，c，a?＝1×1＝1. ? ? ? ? ∴“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的必要条件． ?abc?c∵a≤b≤c，∴max?b，c，a?＝a. ? ? ?abc?aaaba 又∵l＝1，∴min?b，c，a?＝c，即b＝c或c＝c， ?? 得b＝c或b＝a，可知△ABC为等腰三角形，而不能推出△ABC为等边三角形． ∴“l＝1”不是“△ABC为等边三角形”的充分条件．] 3．设m∈N*，一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根的充要条件是m＝________. 4±16－4m 3或4 [x＝＝2±4－m，因为x是整数，即2±4－m为整数， 2所以4－m为整数，且m≤4.又m∈N*，取m＝1,2,3,4.验证可得m＝3,4符合题 意，所以m＝3,4时可以推出一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根．] 1 4．设p：2≤x≤1；q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是________． 1?? ?0，2? [因为q：a≤x≤a＋1，p是q的充分条件， ?? ?a≤1 2， 所以? ?a＋1≥1， 1 解得0≤a≤2.] 5．已知a，b，c∈R，a≠0，判断“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的什么条件？并说明理由． [解] “a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条 5
2019-2020学年高中数学新教材必修一第1章：充要条件
